Mathematik
1.470 Mathe-Rechner: Prozente, Brüche, Gleichungen, Geometrie, Trigonometrie, Statistik und Zahlentheorie. Jeder erklärt den Rechenweg in einfachen Worten, damit Sie das Ergebnis erhalten und verstehen, wie es zustande kommt, kostenlos in Ihrem Browser.
Partitionen mit verschiedenen Teilen
Die Zahl 5 zerfällt auf 3 Arten in verschiedene Teile: 5, 4+1 und 3+2. Geben Sie eine ganze Zahl von 0 bis 5000 ein und erhalten Sie die exakte Anzahl ihrer…
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Gaußsche Zahlen dividieren: Quotient und Rest
Die Division von 17 + 9i durch 4 − 3i ergibt den Quotienten 2 + 3i und den Rest 3i, dessen Norm 9 unter der Divisornorm 25 liegt.
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Gaußsche ganze Zahlen faktorisieren
Zerlegen Sie jede von null verschiedene gaußsche ganze Zahl in gaußsche Primzahlen: 5 wird zu −i · (1+2i) · (2+i), mit Einheit, Exponenten und Normen.
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Goldbach-Zerlegungen
Die 10 lässt sich in zwei Primzahlpaare zerlegen, 3 + 7 und 5 + 5, hat also 2 Goldbach-Zerlegungen.
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Darstellung als Summe dreier Quadrate
310 lässt sich als 2² + 9² + 15² schreiben, und das Ergebnis zeigt diese drei Zahlen samt geprüfter Gleichung.
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Summe zweier Quadrate
65 lässt sich auf 16 geordnete Arten mit Vorzeichen als Summe zweier Quadrate schreiben, die Anzahl ist also 16.
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Waring-Problem-Darstellung
Mit Quadraten wird 30 zu 25 + 4 + 1, also 5² + 2² + 1², indem stets das größte noch passende Quadrat genommen wird.
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Kosinus-Ähnlichkeit-Rechner
Messen Sie, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen, von -1 bei entgegengesetzter bis 1 bei gleicher Richtung.
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Cullen-Zahl-Generator
Beim Index 5 ist die Cullen-Zahl 161, denn 5 × 32 + 1 = 161. Geben Sie einen ganzzahligen Index ab 0 ein und erhalten Sie das vollständige Glied mit allen…
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Länge einer Ziffernfakultätskette berechnen
Ab 69 durchläuft die Ziffernfakultätskette 5 verschiedene Werte, bevor sich einer wiederholt; der erste Schritt ist 6! + 9! = 363600.
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Faktorion-Prüfer
145 ist ein Faktorion: 1! + 4! + 5! ergibt 1 + 24 + 120, zusammen wieder 145. Geben Sie eine positive ganze Zahl ein und sehen Sie die Fakultät jeder Ziffer…
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Fermat-Zahlen-Generator
Geben Sie einen Index ein und erhalten Sie die Fermat-Zahl 2^(2^n)+1 ausgeschrieben: Index 0 ergibt 3, Index 4 ergibt 65537.
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Repunit-Prüfer
Prüft, ob eine positive ganze Zahl nur aus der Ziffer 1 besteht: 111 ist die dreistellige Repunit, gleich (10^3 − 1)/9.
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Vampirzahl prüfen
1260 ist eine Vampirzahl, denn 21 × 60 = 1260, und die Ziffern von 21 und 60 sind genau 1, 2, 6 und 0.
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Additiv-Primzahl-Pruefer: Primzahl mit Prim-Ziffernsumme
23 ist eine additive Primzahl: Die Zahl ist prim, und ihre Ziffern ergeben zusammen 5, ebenfalls eine Primzahl.
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Balancierte Primzahl anhand ihrer Nachbarn prüfen
53 ist eine balancierte Primzahl: Die nächsten Primzahlen sind 47 darunter und 59 darüber, beide 6 entfernt, und ihr Mittelwert ist 53.
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Permutierbare Primzahl prüfen
Prüfen Sie, ob eine Primzahl bei jeder Umordnung ihrer Ziffern prim bleibt: 113 besteht, denn alle 3 verschiedenen Anordnungen ihrer Ziffern sind prim.
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Sichere Primzahl prüfen
Prüft, ob eine Primzahl p sicher ist, also ob auch (p − 1)/2 prim ist: 23 ist sicher, weil ihre Hälfte 11 prim ist, was 11 zugleich zur Sophie-Germain-Primzahl…
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Wieferich-Primzahl-Pruefer
1093 ist eine Wieferich-Primzahl: 2 hoch 1092 lässt bei Division durch 1093², also 1194649, den Rest 1.
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Dudeney-Zahl prüfen
512 ist eine Dudeney-Zahl: Ihre Ziffern ergeben 8, und 8 hoch drei ist 512. Geben Sie eine positive ganze Zahl ein und sehen Sie ihre Ziffernsumme, ob sie eine…
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Evil-Zahlen-Prüfer
3 ist eine Evil-Zahl: Binär geschrieben ist sie 11, mit 2 Einsen, und 2 ist gerade. Geben Sie eine nichtnegative ganze Zahl ein und sehen Sie ihre Binärform…
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Home-Prime-Rechner mit Primfaktorverkettung
12 zerfällt in 2 × 2 × 3; reiht man diese Ziffern aneinander, entsteht 223, und 223 ist prim, also ist 223 die Home Prime von 12.
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Lucas-Primzahl-Pruefer
Geben Sie einen Index ein und sehen Sie, ob die Lucas-Zahl an dieser Stelle prim ist: L(5) ist 11, eine zweistellige Primzahl, L(6) dagegen 18 und…
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Mersenne-Primzahl mit Lucas-Lehmer prüfen
Geben Sie einen primen Exponenten an, und der Lucas–Lehmer-Test sagt Ihnen, ob 2^p − 1 prim ist: Bei 31 läuft er 29 Schritte, endet mit dem Rest 0 und bestätigt…
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Primzahltripel
Listet jedes Primzahltripel bis zu Ihrer Grenze in den zwei Formen p, p + 2, p + 6 und p, p + 4, p + 6: Bis 50 sind es 7, von (5, 7, 11) bis (41, 43, 47).
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Alternierende Quersumme
Bei 918082 ergibt die alternierende Quersumme 22, ein Vielfaches von 11, also ist die Zahl durch 11 teilbar.
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Balancierte Ternärzahlen mit -1, 0 und 1 umrechnen
20 lautet im balancierten Ternärsystem 1 −1 1 −1: drei hoch drei, minus drei zum Quadrat, plus drei, minus eins.
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Digitalwurzel in Basis
In Basis 16 schreibt sich 255 als FF, die Ziffern ergeben 30 und dann 15: Die digitale Wurzel ist 15, erreicht in 2 Schritten.
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Äqudigitale Zahl prüfen und Primfaktorstellen vergleichen
27 ist äquidigital: Die Zahl hat 2 Ziffern, und ihre Zerlegung 3³ braucht ebenfalls 2, die Basis 3 und den Exponenten 3.
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Multiplikative Persistenz
Multiplizieren Sie die Ziffern einer Zahl so lange, bis nur eine Ziffer übrig ist: Aus 39 wird 27, dann 14, dann 4, die multiplikative Persistenz ist also 3.
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Depressierte Kubik
t³ − 3t + 2 = 0 hat die Wurzeln 1, 1 und −2, denn sie zerfällt in (t − 1)²(t + 2): Geben Sie p und q ein und erhalten Sie alle drei Wurzeln mit Diskriminante…
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Umgekehrt proportional berechnen
Ist x gleich 4, wenn y gleich 6 ist, beträgt die Konstante 24; für x gleich 8 ergibt sich daher y gleich 3, und jeder Einsetzungsschritt wird gezeigt.
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Geradengleichung aus Steigung und Punkt
Steigung 2 und der Punkt (1, 3) ergeben y − 3 = 2(x − 1), also y gleich 2x + 1, denn der y-Achsenabschnitt ist 3 − 2 × 1, also 1. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Buchstabengleichungen umstellen
Stellen Sie y = mx + b nach x um und erhalten Sie x = (y − b) / m, samt den Schritten, die jede Rechenoperation rückgängig machen.
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Quadratische durch Faktorisieren
Faktorisieren Sie eine quadratische Gleichung wie im Schulbuch: x² − 5x + 6 wird zu (x − 2)(x − 3), die Lösungen sind also 2 und 3.
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Rechner für exakte komplexe quadratische Nullstellen
Erhalten Sie exakte komplexe Lösungen statt gerundeter Dezimalzahlen: x² + x + 1 hat die Diskriminante −3, die Lösungen sind −1/2 + (√3/2)i und −1/2 − (√3/2)i…
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Scheitelpunktform in Normalform
Wandeln Sie die Scheitelpunktform ohne Handrechnung in die Normalform um: 2(x − 3)² − 5 wird zu 2x² − 12x + 13, mit b = −2ah und c = ah² + k.
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Quadratische Gleichung per Substitution lösen
Lösen Sie eine biquadratische Gleichung Schritt für Schritt: Mit u statt x² wird x⁴ − 5x² + 4 = 0 zu u² − 5u + 4 = 0, mit u gleich 1 oder 4 und den vier reellen…
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Parabel-x-Nullstellen aus Scheitelpunktform
Lesen Sie die Nullstellen direkt aus der Scheitelpunktform ab, ohne auszumultiplizieren: y = (x − 2)² − 4 schneidet die x-Achse bei 0 und 4, jeweils 2 Einheiten…
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Kubikgleichung x³=k
x³ = 8 hat drei Lösungen, nicht nur eine: die reelle Lösung 2 und das komplexe Paar -1 ± i√3. Geben Sie ein reelles k ein und erhalten Sie alle drei Lösungen…
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Summe und Produkt der Wurzeln
Bei x^2 - 5x + 6 = 0 ergeben die Lösungen zusammen 5 und multipliziert 6, direkt aus den Koeffizienten abgelesen mit dem Satz von Vieta: Die Summe ist −b/a, das…
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Lineare Gleichung in zwei Schritten
6x + 5 = 20 wird zu 6x = 15 und ergibt dann 5/2 für x, als exakter Bruch. Der Rechner entfernt die Konstante, teilt durch den Koeffizienten und prüft die…
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Y-Achsenabschnitt einer Geraden
Die Gerade 2x − y + 6 = 0 schneidet die y-Achse bei (0, 6): Geben Sie die drei Koeffizienten der allgemeinen Form ein und erhalten Sie den Achsenabschnitt oder…
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Neunerprobe
Die Neunerprobe prüft eine Summe oder ein Produkt in Sekunden: Ein behauptetes Ergebnis von 579 lässt modulo 9 den Rest 3, genau wie die kombinierten Reste 6…
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Imaginärquadratische Klassenzahl
Geben Sie ein quadratfreies d ein und erhalten Sie die exakte Klassenzahl von Q(√−d): Für 23 ist die Diskriminante −23 und die Klassenzahl 3, für 1, die…
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Fibonacci-Kodierung
Wandeln Sie jede positive ganze Zahl in ihren Fibonacci-Code um: Aus 6 wird 10011, gebildet aus den Summanden 1 und 5.
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Hofstadter-Q-Folge
In der Hofstadter-Q-Folge ist das zehnte Glied 6 und das zwanzigste 12. Jedes neue Glied blickt um Abstände zurück, die frühere Glieder festlegen, daher wächst…
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Narayanas-Kühe-Folge
Erhalten Sie jedes Glied von Narayanas Kühe-Folge vom Index 0 bis 97: N(10) ist 28, denn jedes Glied addiert das direkt vorherige und das drei Stellen…
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p-adische Bewertung
Zählen Sie, wie oft eine Primzahl eine ganze Zahl teilt: 72 ist 8 mal 9, enthält also dreimal die Primzahl 2, die 2-adische Bewertung ist 3 und der Restfaktor…
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Perrin-Folge
Erhalten Sie jedes Glied der Perrin-Folge, die mit 3, 0, 2 beginnt und die Glieder zwei und drei Stellen zurück addiert: P(10) ist 17, also 10 plus 7.
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Thue-Morse-Bit
Stelle 7 lautet binär 111, also drei Einsen, und ihr Thue-Morse-Bit ist 1. Geben Sie eine nichtnegative Stelle ein und sehen Sie die Binärform, die Zahl der…
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Untere Wythoff-Folge
Das zehnte Glied der unteren Wythoff-Folge ist 16, und die Folge beginnt mit 1, 3, 4, 6, 8. Geben Sie eine ab eins gezählte Stelle ein und erhalten Sie genau…
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Betragsungleichung lösen
|2x − 3| < 5 gilt für −1 < x < 4, also das Intervall (−1, 4), während die Variante mit größer als zwei äußere Strahlen liefert.
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Kubische Ungleichungen: Nullstellen und Intervalle
x³ − 2x² − 5x + 6 ≥ 0 gilt auf [−2, 1] ∪ [3, ∞): Geben Sie die vier Koeffizienten und den Vergleich ein und sehen Sie die reellen Nullstellen, das Vorzeichen…
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2x2-Gleichungssystem per Elimination exakt lösen
Lösen Sie zwei lineare Gleichungen exakt per Additionsverfahren: Bei 2x + 3y = 7 und x minus y gleich 1 fällt x weg, es bleibt 5y = 5, und der Schnittpunkt ist…
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Schnitt Gerade–Parabel
Die Gerade y = x + 2 schneidet die Parabel y = x^2 in (-1, 1) und (2, 4): Der Rechner setzt beide gleich, löst die quadratische Gleichung und liest die…
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Lineare Ungleichung (2 Variablen)
Für 2x + y < 6 erhalten Sie die gestrichelte Randgerade, auf der 2x + y gleich 6 ist, die Halbebene unterhalb von y = −2x + 6 und den Ursprung als Testpunkt…
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Differenz von Kuben faktorisieren
Prüfen Sie, ob zwei ganze Zahlen Kubikzahlen sind, und zerlegen Sie ihre Differenz: Aus 125 − 8 wird (5 − 2)(25 + 10 + 4), denn 125 ist 5³ und 8 ist 2³.
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Homogenes lineares 2x2-System
Geben Sie die vier Koeffizienten zweier Gleichungen mit null auf der rechten Seite ein und erhalten Sie die gesamte Lösungsmenge: Bei 1, 2, 3 und 4 ist die…
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Polynomkomposition
Setzen Sie ein Polynom in ein anderes ein und erhalten Sie das ausmultiplizierte Ergebnis: Mit f(x) = x² und g(x) = 1 + x ist f(g(x)) gleich 1 + 2x + x², vom…
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