Fermat-Zahlen-Generator
Geben Sie einen Index ein und erhalten Sie die Fermat-Zahl 2^(2^n)+1 ausgeschrieben: Index 0 ergibt 3, Index 4 ergibt 65537. Dazu sehen Sie die Ziffernanzahl und den Exponenten 2^n, passend für Zahlentheorie im Unterricht und Olympiade-Training. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 0
- Fermat-Zahl
- 3
- Dezimalstellen
- 1
- Exponent
- 1
Pierre de Fermat untersuchte die ersten Werte und vermutete, dass jedes F_n prim sei; diese Vermutung scheitert bei n gleich fünf, wo F_5 vier Milliarden zweihundertvierundneunzig Millionen neunhundertsiebenundsechzigtausend zweihundertsiebenundneunzig beträgt und faktorisiert, doch die Folge bleibt zentral in der Zahlentheorie, bei konstruierbaren Vielecken und bei Pseudoprimzahltests. Dieser Generator nimmt einen nichtnegativen ganzzahligen Index n, liefert die vollständige Dezimaldarstellung von F_n als Zeichenkette, meldet die Ziffernanzahl und wiederholt den Zwischenexponenten zwei hoch n, damit Sie den Turm sehen, ohne ihn neu zu berechnen.
Was Fermat-Zahlen sind und wie F_n definiert ist
Eine Fermat-Zahl ist vollständig durch einen einzigen nichtnegativen ganzzahligen Index n bestimmt: F_n ist gleich zwei erhoben zur Potenz zwei-hoch-n, plus eins. Die ersten Indizes ergeben die klassische Tabelle, die Studierende auswendig lernen: F_0 ist drei, F_1 ist fünf, F_2 ist siebzehn, F_3 ist zweihundertsiebenundfünfzig und F_4 ist fünfundsechzigtausend fünfhundertsiebenunddreißig. Diese fünf Werte sind alle prim, weshalb Fermat hoffte, auch jeder spätere Term sei prim.
Euler zeigte, dass F_5 zusammengesetzt ist, und jede später vollständig faktorisierte Fermat-Zahl ist es ebenfalls; niemand hat bewiesen, dass nur die ersten fünf prim sind, doch das bekannte Muster macht die Folge zu einem festen Bestandteil elementarer Zahlentheoriekurse und von Algorithmen, die eine dünne Familie paarweise nahezu teilerfremder ganzer Zahlen brauchen. Weil der Exponent eine reine Zweierpotenz ist, wachsen aufeinanderfolgende Fermat-Zahlen doppelt exponentiell: jeder Schritt verdoppelt ungefähr die Bitlänge des vorherigen Terms. Die Definition braucht weder Primzahltests noch Faktorisierung noch probabilistische Verfahren — nur exaktes Potenzieren und eine Addition.
Gegeben n, berechnet die Engine exponent gleich zwei hoch n, bildet F_n als eins linksverschoben um diesen Exponenten plus eins, wandelt den BigInt in eine Zeichenkette um und meldet die Ziffernanzahl.
Wo die Erzeugung von Fermat-Zahlen in der Praxis vorkommt
Wettbewerbsprogrammierer und Olympiade-Trainer nutzen kleine Fermat-Werte als Aufwärmung vor schwierigeren modularen Arithmetikaufgaben und brauchen ein deterministisches Orakel, von dem Studierende nicht durch eine überlaufende Tabellenkalkulationsformel abweichen können. Krypto- und Systemingenieure brauchen manchmal bekannte Fermat-Primzahlen wie F_4 gleich fünfundsechzigtausend fünfhundertsiebenunddreißig bei konstruierbaren regelmäßigen Vielecken oder historischem RSA-Parameter-Folklore, ohne dem Zahlwert allein kryptographische Stärke zuzuschreiben. Wenn Sie später Mersenne-Zahlen, Primzahltests oder die Faktorisierung eines allgemeinen zusammengesetzten Werts brauchen, behandeln Sie das als getrennte Suchabsichten statt diese Fermat-Landing zu überladen.
Fermat-Zahlen bleiben die richtige Seite, wenn die Frage lautet, was zwei hoch zwei-hoch-n plus eins für einen gegebenen nichtnegativen Index n ergibt.
Häufige Fragen
Verursacht negatives n einen Fehler?
In diesem Generator sind Fermat-Zahlen F_n für n ≥ 0 definiert; der unterstützte Bereich ist 0 bis 16 einschließlich.
Ist das Ergebnis deterministisch?
Es gibt keine Zufälligkeit, keinen Netzaufruf und kein Modell — nur BigInt-Potenzierung und Addition.
Sind alle Fermat-Zahlen Primzahlen?
Nein. Die ersten fünf, von F_0 (3) bis F_4 (65537), sind prim, daher Fermats Vermutung, doch F_5 mit dem Wert 4294967297 lässt sich zerlegen. Dieser Rechner liefert den Wert, prüft aber nicht, ob er prim ist.
Welche Werte für n kann ich eingeben?
Ganze Zahlen von 0 bis 16. Größere Indizes, Dezimalzahlen und leere Eingaben werden abgelehnt, denn Fermat-Zahlen wachsen so schnell, dass sich ihre Länge in Bits mit jedem Schritt ungefähr verdoppelt.
Wie wird F_n berechnet?
Zuerst wird der Exponent 2^n gebildet, dann wird 2 mit diesem Exponenten potenziert und 1 addiert. Die Rechnung ist exakt und ohne Rundung, deshalb erscheint das Ergebnis mit allen Ziffern.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 4
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.fermat_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Fermat-Zahlen sind die ganzen Zahlen F_n = 2 hoch 2 hoch n, plus eins — kompakt geschrieben: zwei hoch zwei-hoch-n plus eins. Negative Indizes werden mit invalid_input abgelehnt. Derselbe reine BigInt-Pfad läuft kostenlos im Browser und in der vorausbezahlten API zu $0.002 pro erfolgreichem Element, ohne Netzwerk, ohne Modelldrift und mit bitgenauer Übereinstimmung zwischen interaktiven Demos und automatisierten Tests.
Was Fermat-Zahlen sind und wie F_n definiert ist
Dieses Wachstum erklärt, warum dieses Werkzeug den Wert als Dezimalzeichenkette und nicht als IEEE-Gleitkommazahl liefert und warum der unterstützte Indexbereich bei sechzehn endet, damit BigInt-Arbeit in den Zeitbudgets von Worker und Browser bleibt.
Eingabevertrag, erfolgreiche Antworten und Fehlermodi
Senden Sie ein Pflicht-Ganzzahlfeld n. Der Wert muss eine ganze Zahl von null bis sechzehn einschließlich sein. Dezimalzahlen, leere Felder, nichtnumerische Zeichenketten und Werte über dem Maximalindex scheitern ebenfalls an der Validierung und werden nicht berechnet. Stichproben, denen Sie ohne Lehrbuch vertrauen können: n gleich null liefert fermat drei und eine Ziffer; n gleich vier liefert fünfundsechzigtausend fünfhundertsiebenunddreißig; n gleich fünf liefert vier Milliarden zweihundertvierundneunzig Millionen neunhundertsiebenundsechzigtausend zweihundertsiebenundneunzig; n gleich minus eins scheitert an der Validierung. Die Aliase index und k werden akzeptiert, damit Formulare, Query-Strings und SDK-Clients einen Vertrag wiederverwenden können, ohne jede Nutzlast umzubenennen. Negatives n schlägt mit invalid_input und einer Meldung fehl, dass Fermat-Zahlen für negative Indizes nicht definiert sind — das ist die Produktregel, die diese Fähigkeit durchsetzt und dem mathematischen Definitionsbereich der klassischen Folge entspricht. Bei Erfolg meldet das JSON n, fermat als vollständige Dezimalzeichenkette von zwei hoch zwei-hoch-n plus eins, decimal_digits als Länge dieser Zeichenkette, exponent gleich zwei hoch n und formula als kurze Anzeigezeichenkette vom Typ zwei caret öffnende-Klammer zwei caret n schließende-Klammer plus eins. Der API-Preis ist die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Element; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Wo die Erzeugung von Fermat-Zahlen in der Praxis vorkommt
Weil die Fähigkeit eine reine Parse-Engine ist, liefert dasselbe n immer dasselbe JSON ohne Netzabhängigkeit und ohne gespeicherten Zustand.
Integrationsbeispiele
Hausaufgaben und Olympiade-Aufwärmung
Berechnen Sie F_n = 2^(2^n)+1 für Unterrichtsindizes und prüfen Sie Dezimalentwicklungen sowie Ziffernanzahlen gegen einen deterministischen Antwortschlüssel.
Deterministische Fixtures für Big-Integer-Demos
Erzeugen Sie stabile fermat- und decimal_digits-Felder für Folien, Unit-Tests und Dokumentation, ohne riesige Zweierpotenz-Zeichenketten von Hand zu pflegen.
Pipeline-taugliche Fermat-Werte
Rufen Sie denselben isomorphen Vertrag aus Skripten und CI auf, damit Fermat-Zahl-Assertions nie von einem beiläufigen Webformular oder Sprachmodell abhängen.
Technische Fragen
Was ist eine Fermat-Zahl?
Eine Fermat-Zahl ist eine ganze Zahl der Form F_n = 2^(2^n) + 1 für einen nichtnegativen ganzzahligen Index n. Die ersten fünf (n = 0 bis 4) sind die bekannten Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537.
Wie wird F_n hier berechnet?
Die Engine setzt exponent = 2^n und berechnet dann F_n = 2^exponent + 1 mit exakter BigInt-Linksverschiebung. Das Ergebnis wird als Dezimalzeichenkette geliefert, damit große Werte keine Präzision verlieren.
Was kostet die Berechnung von F_n über die API?
Im Browser erzeugen Sie Fermat-Zahlen F_n = 2^(2^n)+1 kostenlos lokal. Über die API wird jeder erfolgreiche Aufruf mit $0.002 vom vorausbezahlten KIT-Guthaben abgebucht; ungültige Eingabe (etwa negatives n) wird nicht berechnet.