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Générateur de nombres de Fermat

Saisissez un indice et obtenez le nombre de Fermat 2^(2^n)+1 en entier : l’indice 0 donne 3, l’indice 4 donne 65537. Le nombre de chiffres et l’exposant 2^n s’affichent aussi, pour un cours de théorie des nombres ou un entraînement aux olympiades. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

N: 0

Vous obtenez

Nombre de Fermat: 3
Chiffres décimaux: 1
Exposant: 1

Pierre de Fermat a étudié les premières valeurs et a conjecturé que tout F_n est premier ; cette conjecture échoue pour n égal à cinq, où F_5 vaut quatre milliards deux cent quatre-vingt-quatorze millions neuf cent soixante-sept mille deux cent quatre-vingt-dix-sept et se factorise, mais la suite reste centrale en théorie des nombres, pour les polygones constructibles et les tests de pseudoprimalité. Ce générateur prend un indice entier non négatif n, renvoie le développement décimal complet de F_n sous forme de chaîne, indique combien de chiffres cette valeur possède et répète l’exposant intermédiaire deux à la n pour que vous voyiez la tour sans la recalculer.

Ce que sont les nombres de Fermat et comment F_n est défini

Un nombre de Fermat est entièrement déterminé par un unique indice entier non négatif n : F_n égale deux élevé à la puissance deux-à-la-n, puis plus un. En développant les premiers indices on obtient le tableau classique que les élèves mémorisent : F_0 vaut trois, F_1 vaut cinq, F_2 vaut dix-sept, F_3 vaut deux cent cinquante-sept et F_4 vaut soixante-cinq mille cinq cent trente-sept. Ces cinq valeurs sont toutes premières, c’est pourquoi Fermat espérait que tout terme ultérieur le serait aussi.

Euler a montré que F_5 est composé, et tout nombre de Fermat ultérieur entièrement factorisé l’est aussi ; personne n’a prouvé que seuls les cinq premiers sont premiers, mais le motif connu fait de la suite un point fixe permanent des cours élémentaires de théorie des nombres et des algorithmes qui ont besoin d’une famille clairsemée d’entiers presque copremiers entre eux.

Comme l’exposant est une pure puissance de deux, les nombres de Fermat successifs croissent de façon doublement exponentielle : chaque pas double approximativement la longueur en bits du terme précédent. La définition n’exige ni primalité, ni factorisation, ni tests probabilistes — seulement une puissance exacte et une addition. Étant donné n, le moteur calcule exponent égal à deux à la n, forme F_n comme un décalé à gauche de cet exposant puis plus un, convertit le BigInt en chaîne et indique le nombre de chiffres.

Où la génération de nombres de Fermat apparaît dans le travail réel

Les programmeurs de concours et les coachs d’olympiades utilisent de petites valeurs de Fermat comme échauffement avant des problèmes d’arithmétique modulaire plus durs, et ont besoin d’un oracle déterministe dont les élèves ne peuvent pas diverger par accident via une formule de tableur qui déborde.

Les ingénieurs en cryptographie et systèmes ont parfois besoin de nombres premiers de Fermat connus tels que F_4 égal à soixante-cinq mille cinq cent trente-sept lorsqu’ils discutent de polygones réguliers constructibles ou du folklore historique des paramètres RSA, sans attribuer de force cryptographique au nombre seul. Si vous avez ensuite besoin de nombres de Mersenne, de tests de primalité ou de la factorisation d’un composé général, traitez-les comme des intentions de recherche séparées plutôt que de surcharger cette page centrée sur Fermat.

Les nombres de Fermat restent la bonne page lorsque la question est ce que vaut deux à la deux-à-la-n plus un pour un indice non négatif n donné.

Questions fréquentes

Un n négatif provoque-t-il une erreur ?

Dans ce générateur les nombres de Fermat F_n sont définis pour n ≥ 0, et la plage prise en charge va de 0 à 16 inclus.

Comment F_n est-il calculé ici ?

Le résultat est renvoyé en chaîne décimale pour que les grandes valeurs ne perdent jamais de précision.

Le résultat est-il déterministe ?

Aucun aléa, appel réseau ou modèle n’intervient — seulement puissance et addition BigInt.

Quel est le coût ?

L’outil navigateur est gratuit et s’exécute en local.

Tous les nombres de Fermat sont-ils premiers ?

Non. Les cinq premiers, de F_0 (3) à F_4 (65537), sont premiers, d’où la conjecture de Fermat, mais F_5, qui vaut 4294967297, se factorise. Cet outil calcule la valeur sans vérifier si elle est première.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/fermat-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "n": 4
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.fermat_number",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Les nombres de Fermat sont les entiers F_n = 2 élevé à la puissance de 2 à la n, plus un — sous forme compacte, deux à la deux-à-la-n plus un. Les indices négatifs sont rejetés avec invalid_input. Le même chemin pur BigInt s’exécute gratuitement dans le navigateur et sur l’API prépayée à $0.002 par élément réussi, sans réseau, sans dérive de modèle et avec un accord bit à bit entre démos interactives et tests automatisés.

Ce que sont les nombres de Fermat et comment F_n est défini

Cette croissance explique pourquoi cet outil renvoie la valeur comme chaîne décimale plutôt qu’en flottant IEEE, et pourquoi la plage d’indices s’arrête à seize pour que le travail BigInt reste dans les budgets de temps Worker et navigateur.

Contrat d’entrée, réponses de succès et modes d’échec

Envoyez un champ entier obligatoire n. La valeur doit être un entier de zéro à seize inclus. Décimales, champs vides, chaînes non numériques et valeurs au-delà de l’indice maximal échouent aussi à la validation et ne sont pas facturés. Contrôles ponctuels auxquels vous pouvez vous fier sans ouvrir un manuel : n égal à zéro donne fermat trois et un chiffre ; n égal à quatre donne soixante-cinq mille cinq cent trente-sept ; n égal à cinq donne quatre milliards deux cent quatre-vingt-quatorze millions neuf cent soixante-sept mille deux cent quatre-vingt-dix-sept ; n égal à moins un échoue à la validation. Les alias index et k sont acceptés afin que formulaires, chaînes de requête et clients SDK réutilisent un même contrat sans renommer chaque charge utile. Un n négatif échoue avec invalid_input et un message indiquant que les nombres de Fermat ne sont pas définis pour des indices négatifs — c’est la règle produit que cette capacité applique, alignée sur le domaine mathématique de la suite classique. En cas de succès le JSON rapporte n, fermat comme la chaîne décimale complète de deux à la deux-à-la-n plus un, decimal_digits comme la longueur de cette chaîne, exponent égal à deux élevé à n, et formula comme une courte chaîne d’affichage du type deux caret parenthèse-ouvrante deux caret n parenthèse-fermante plus un. Le tarif API est la base publiée de $0.002 par élément réussi ; une validation échouée ne consomme pas le solde.

Où la génération de nombres de Fermat apparaît dans le travail réel

Comme la capacité est un moteur parse pur, le même n produit toujours le même JSON sans dépendance réseau ni état stocké. Utilisez l’exécuteur gratuit du navigateur pour les devoirs et l’exploration, puis appelez l’API depuis des scripts et l’intégration continue lorsque vous avez besoin d’une génération en masse avec solde prépayé.

Cas d'intégration

Devoirs et échauffements d’olympiade

Calculez F_n = 2^(2^n)+1 pour des indices de cours et vérifiez développements décimaux et nombres de chiffres face à une clé de réponses déterministe.

Fixtures déterministes pour démos d’entiers grands

Générez des champs fermat et decimal_digits stables pour diapositives, tests unitaires et documentation sans maintenir à la main d’énormes chaînes de puissances de deux.

Valeurs de Fermat adaptées aux pipelines

Appelez le même contrat isomorphe depuis scripts et CI pour que les assertions sur les nombres de Fermat ne dépendent jamais d’un formulaire web occasionnel ni d’un modèle de langage.

Questions techniques

Qu’est-ce qu’un nombre de Fermat ?

Un nombre de Fermat est un entier de la forme F_n = 2^(2^n) + 1 pour un indice entier non négatif n. Les cinq premiers (n = 0 à 4) sont les nombres premiers bien connus 3, 5, 17, 257 et 65537.

Consulter la documentation complète du KIT →

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Ce que sont les nombres de Fermat et comment F_n est défini

Où la génération de nombres de Fermat apparaît dans le travail réel

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Exemple de requête

Exemple de réponse

Tarifs

Erreurs

Notes techniques

Ce que sont les nombres de Fermat et comment F_n est défini

Contrat d’entrée, réponses de succès et modes d’échec

Où la génération de nombres de Fermat apparaît dans le travail réel

Cas d'intégration

Devoirs et échauffements d’olympiade

Fixtures déterministes pour démos d’entiers grands

Valeurs de Fermat adaptées aux pipelines

Questions techniques

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