Suite de Sylvester

La suite de Sylvester est la suite d’entiers qui commence à deux puis construit chaque terme ultérieur comme un plus le produit de tous les termes antérieurs. De façon équivalente, chaque successeur satisfait s sub k plus un égale s sub k au carré moins s sub k plus un, ce qui donne le préfixe familier deux, trois, sept, quarante-trois, mille huit cent sept, et ainsi de suite. La suite croît si vite que les types flottants ordinaires et même les entiers de largeur fixe échouent en quelques pas, de sorte que cette calculatrice utilise l’arithmétique BigInt et renvoie chaque valeur comme chaîne décimale qui préserve chaque chiffre. Vous fournissez un indice entier non négatif n sous la convention base zéro où n égal à zéro renvoie le premier terme deux ; les indices négatifs sont rejetés avec une erreur de validation claire plutôt qu’une mauvaise réponse silencieuse. Lorsque vous avez besoin de plus d’un seul terme, activez l’indicateur optionnel list pour recevoir le préfixe entier de s0 à sn comme un tableau de chaînes décimales.

Comment la suite de Sylvester est définie et calculée

Nous utilisons l’indexation standard base zéro de Sylvester avec s0 égal à deux. Chaque terme ultérieur est défini de sorte que s sub n égale un plus le produit de s0 jusqu’à s sub n moins un. Cette règle de produit est exactement équivalente à la récurrence compacte s sub k plus un égale s sub k fois la quantité s sub k moins un, plus un, qui se réarrange en s au carré moins s plus un.

Sous cette règle s1 vaut trois, s2 sept, s3 quarante-trois, s4 mille huit cent sept, s5 trois millions deux cent soixante-trois mille quatre cent quarante-trois, et les termes suivants explosent de façon doublement exponentielle. L’implémentation n’approxime jamais avec des puissances ou logarithmes flottants ; elle parcourt la récurrence avec des multiplications BigInt du premier terme jusqu’à n, ce qui garantit que chaque chiffre est exact même lorsque le résultat a des milliers de décimales.

Le chemin est pleinement déterministe — sans graines aléatoires, sans horloges, sans réseau et sans dérive de modèle —, de sorte que le même n donne toujours la même chaîne et la même suite optionnelle.

Où les nombres de Sylvester apparaissent dans le travail réel

Les cours de théorie des nombres présentent la suite de Sylvester comme exemple canonique d’une récurrence produit-plus-un et comme source d’entiers deux à deux premiers entre eux dont les réciproques forment une expansion gourmande en fractions égyptiennes de un.

Les démos produit, entretiens de code et billets de blog sur les relations de récurrence montrent souvent un court tableau de Sylvester à côté de la croissance de Fibonacci ou factorielle ; lister s0 jusqu’à sn en un seul appel garde les démos interactives honnêtes sans réimplémenter la boucle dans chaque langage. Les notes de recherche sur les fractions égyptiennes, la coprimalité de la suite de Sylvester et la croissance doublement exponentielle bénéficient d’une seule implémentation de référence partagée.

Si vous avez ensuite besoin de termes de Sylvester modulaires, de certificats de pgcd par paires ou d’expansions en fractions égyptiennes d’un rationnel, traitez-les comme des intentions de recherche séparées plutôt que de surcharger l’atterrissage de cette calculatrice.