Sequenza di Sylvester

La sequenza di Sylvester è la successione intera che inizia da due e poi costruisce ogni termine successivo come uno più il prodotto di tutti i termini precedenti. In modo equivalente, ogni successore soddisfa s sub k più uno uguale a s sub k al quadrato meno s sub k più uno, producendo il prefisso familiare due, tre, sette, quarantatré, milleottocentosette, e così via. La sequenza cresce così in fretta che i tipi in virgola mobile ordinari e persino gli interi a larghezza fissa falliscono in pochi passi, così questa calcolatrice usa aritmetica BigInt e restituisce ogni valore come stringa decimale che conserva ogni cifra. Lei fornisce un indice intero non negativo n sotto la convenzione base zero in cui n uguale a zero restituisce il primo termine due; gli indici negativi sono rifiutati con un errore di validazione chiaro invece di una risposta sbagliata silenziosa. Quando serve più di un solo termine, attivi il flag opzionale list per ricevere l’intero prefisso da s0 a sn come array di stringhe decimali.

Come la sequenza di Sylvester è definita e calcolata

Usiamo l’indicizzazione standard base zero di Sylvester con s0 uguale a due. Ogni termine successivo è definito in modo che s sub n sia uguale a uno più il prodotto di s0 fino a s sub n meno uno. Quella regola di prodotto è esattamente equivalente alla ricorrenza compatta s sub k più uno uguale a s sub k per la quantità s sub k meno uno, più uno, che si riordina come s al quadrato meno s più uno.

Sotto quella regola s1 è tre, s2 sette, s3 quarantatré, s4 milleottocentosette, s5 tre milioni duecentosessantatremila quattrocentoquarantatré, e i termini successivi esplodono in modo doppiamente esponenziale. L’implementazione non approssima mai con potenze o logaritmi in virgola mobile; invece percorre la ricorrenza con moltiplicazioni BigInt dal primo termine fino a n, garantendo che ogni cifra sia esatta anche quando il risultato ha migliaia di decimali.

Il percorso è pienamente deterministico — senza semi casuali, senza orologi, senza rete e senza deriva di modello —, così lo stesso n produce sempre la stessa stringa e la stessa sequenza opzionale.

Dove i numeri di Sylvester compaiono nel lavoro reale

I corsi di teoria dei numeri presentano la sequenza di Sylvester come esempio canonico di una ricorrenza prodotto-più-uno e come fonte di interi a coppie coprimi i cui reciproci formano un’espansione avida in frazioni egizie di uno. Demo di prodotto, colloqui di codice e post di blog sulle relazioni di ricorrenza mostrano spesso una breve tabella di Sylvester accanto alla crescita di Fibonacci o fattoriale; elencare s0 fino a sn in una sola chiamata mantiene oneste le demo interattive senza reimplementare il ciclo in ogni linguaggio.

Note di ricerca su frazioni egizie, coprimalità della sequenza di Sylvester e crescita doppiamente esponenziale beneficiano di un’unica implementazione di riferimento condivisa. Se più avanti le servono termini di Sylvester modulari, certificati di mcd a coppie o espansioni in frazioni egizie di un razionale, li tratti come intenti di ricerca separati invece di sovraccaricare l’atterraggio di questa calcolatrice.