Sequência de Sylvester

A sequência de Sylvester é a sucessão inteira que começa em dois e depois constrói cada termo posterior como um mais o produto de todos os anteriores. De forma equivalente, cada sucessor satisfaz s sub k mais um igual a s sub k ao quadrado menos s sub k mais um, o que produz o prefixo familiar dois, três, sete, quarenta e três, mil oitocentos e sete, e assim por diante. A sequência cresce tão depressa que tipos de ponto flutuante ordinários e até inteiros de largura fixa falham em poucos passos, de modo que esta calculadora usa aritmética BigInt e devolve cada valor como string decimal que preserva cada dígito. Você fornece um índice inteiro não negativo n sob a convenção base zero em que n igual a zero devolve o primeiro termo dois; índices negativos são rejeitados com um erro de validação claro em vez de uma resposta errada silenciosa. Quando precisar de mais de um único termo, ative o sinalizador opcional list para receber o prefixo inteiro de s0 até sn como um array de strings decimais.

Como a sequência de Sylvester é definida e calculada

Usamos a indexação padrão base zero de Sylvester com s0 igual a dois. Cada termo posterior é definido de modo que s sub n é igual a um mais o produto de s0 até s sub n menos um. Essa regra de produto é exatamente equivalente à recorrência compacta s sub k mais um igual a s sub k vezes a quantidade s sub k menos um, mais um, que se reordena como s ao quadrado menos s mais um.

Sob essa regra s1 é três, s2 é sete, s3 é quarenta e três, s4 é mil oitocentos e sete, s5 é três milhões duzentos e sessenta e três mil quatrocentos e quarenta e três, e os termos seguintes explodem de forma duplamente exponencial. A implementação nunca aproxima com potências ou logaritmos em ponto flutuante; em vez disso percorre a recorrência com multiplicações BigInt do primeiro termo até n, o que garante que cada dígito seja exato mesmo quando o resultado tem milhares de casas decimais.

O caminho é plenamente determinístico —sem sementes aleatórias, sem relógios, sem rede e sem deriva de modelo—, de modo que o mesmo n sempre produz a mesma string e a mesma sequência opcional.

Onde os números de Sylvester aparecem no trabalho real

Cursos de teoria dos números apresentam a sequência de Sylvester como exemplo canônico de uma recorrência produto-mais-um e como fonte de inteiros coprimos dois a dois cujos recíprocos formam uma expansão gulosa em frações egípcias de um. Demos de produto, entrevistas de código e posts de blog sobre relações de recorrência costumam mostrar uma tabela curta de Sylvester ao lado do crescimento de Fibonacci ou fatorial; listar s0 até sn em uma única chamada mantém demos interativas honestas sem reimplementar o laço em cada linguagem.

Notas de pesquisa sobre frações egípcias, coprimalidade da sequência de Sylvester e crescimento duplamente exponencial se beneficiam de uma única implementação de referência compartilhada. Se mais tarde você precisar de termos de Sylvester modulares, certificados de mdc par a par ou expansões em frações egípcias de um racional, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar o destino desta calculadora.