Calculadora de números de Catalan
Obtenha o número de Catalan exato que precisar: C(5) é 42 e C(10) é 16796, escrito dígito por dígito e sem arredondamento, mesmo para valores de n muito grandes. Útil para exercícios de combinatória, gabaritos e para conferir recorrências. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 5
- Valor
- 42
Os números de Catalan contam estruturas equilibradas que aparecem em toda a combinatória e a ciência da computação: parênteses corretamente pareados, árvores binárias com n+1 folhas, apertos de mão sem cruzamento, caminhos monotônicos em reticulados que nunca sobem acima da diagonal e triangulações de um polígono convexo. A fórmula fechada é C(n) igual a um sobre n mais um vezes o coeficiente binomial central de 2n escolhe n, com o caso base C(0) igual a um. Esta calculadora aceita um índice inteiro não negativo n e devolve o valor de Catalan exato como string decimal calculada com aritmética BigInt, de modo que termos muito além dos limites de ponto flutuante ou inteiros seguros permanecem corretos dígito a dígito. Índices negativos são rejeitados com um erro de validação claro em vez de uma resposta silenciosamente errada.
Como o n-ésimo número de Catalan é definido e calculado
A sequência de Catalan começa com C(0) igual a um, C(1) igual a um, C(2) igual a dois, C(3) igual a cinco, C(4) igual a quatorze, C(5) igual a quarenta e dois, C(6) igual a cento e trinta e dois, e cresce aproximadamente como quatro elevado a n sobre n elevado a três meios.
A fórmula clássica C(n) igual ao binomial de 2n escolhe n dividido por n mais um é exata para todo inteiro não negativo n; uma forma produto equivalente multiplica fatores sucessivos sem construir primeiro o numerador binomial completo.
Esta implementação nunca usa aproximação em ponto flutuante nem atalhos no estilo Binet: parte de C(0) igual a um e aplica a recorrência exata C(i) igual a C(i menos um) vezes quatro i menos dois, tudo dividido por i mais um, para i de um até n, usando BigInt para que cada dígito intermediário e final seja exato como inteiro. O caminho é totalmente determinístico—sem sementes aleatórias, sem relógios, sem rede e sem deriva de modelo—assim o mesmo n sempre produz a mesma string.
Onde os números de Catalan aparecem no trabalho real
Ferramentas de compiladores e linguagens contam palavras de Dyck, parênteses equilibrados e formas de árvores de sintaxe abstrata que os números de Catalan enumeram; uma checagem exata de C(n) confirma tamanhos de tabelas e recorrências de programação dinâmica sem erros por um. Educadores de matemática discreta e combinatória precisam da sequência clássica em slides e gabaritos: parênteses corretamente pareados de n pares, árvores binárias, triangulações de polígonos e partições sem cruzamento compartilham C(n), e uma única página de calculadora mantém as demos honestas entre essas interpretações.
Demos de produto e preparação de entrevistas costumam mostrar uma tabela curta de Catalan; calcular C(n) em uma chamada alinha demos interativas com os livros-texto. Se mais tarde você precisar de números de Motzkin, Schröder, Ballot ou valores de Catalan modulares para n de tamanho criptográfico, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página de calculadora.
Casos de uso
Ensinar estruturas equilibradas
Mostre aos alunos a sequência de Catalan como strings exatas para que termos grandes permaneçam corretos e C(0)=1 até C(5)=42 coincida com as tabelas do livro.
Tamanhos de tabelas de compilador e DP
Confirme quantas árvores equilibradas, palavras de Dyck ou triangulações de tamanho n existem ao dimensionar tabelas ou validar código de recorrência.
Perguntas frequentes
Que fórmula esta calculadora de Catalan usa?
C(n) = (1/(n+1)) × binomial(2n, n), calculada via a recorrência exata C(i) = C(i−1)×(4i−2)/(i+1) com BigInt. C(0) = 1.
Por que value é uma string em vez de um número?
Os números de Catalan ultrapassam os inteiros seguros de JavaScript em C(30). Strings decimais mantêm cada dígito exato para n grandes.
O que acontece se n for negativo?
Números de Catalan são definidos para n >= 0; índices negativos não são aceitos.
C(0) é permitido?
Sim. C(0) vale 1 na definição padrão. Apenas n negativo é rejeitado.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/catalan-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/catalan-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/catalan-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/catalan-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/catalan-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.catalan_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
min_n | 0 |
max_n | 5000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A ferramenta gratuita do navegador e a API paga compartilham uma única função pura, assim demos de lição de casa e pipelines automatizados nunca divergem em silêncio no mesmo n.
Como o n-ésimo número de Catalan é definido e calculado
Devolver o valor como string decimal mantém honestos os consumidores JSON: os números de Catalan saem do intervalo de inteiros seguros dos números JavaScript ordinários em C(30), e um tipo numérico arredondaria em silêncio. Os limites mantêm n entre zero e cinco mil para que a latência do pior caso continue adequada a uma ferramenta gratuita no navegador e a um caminho Worker leve, cobrindo ao mesmo tempo necessidades de competições, sala de aula e pipelines.
O que você envia e o que recebe de volta
O erro para n negativo declara que os números de Catalan estão definidos para n maior ou igual a zero, para que clientes de formulário e scripts possam corrigir a entrada sem adivinhar. Em caso de sucesso a resposta sempre inclui o n normalizado e value como o n-ésimo número de Catalan exato escrito em decimal. Forneça um inteiro não negativo obrigatório no campo n, ou os aliases number ou index. O valor deve ser um inteiro de zero a cinco mil inclusive; campos ausentes, não inteiros, decimais e qualquer n abaixo de zero são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. Verificações de exemplo: n igual a zero produz value um; n igual a um produz value um; n igual a dois produz value dois; n igual a três produz value cinco; n igual a cinco produz value quarenta e dois; n igual a dez produz value dezesseis mil setecentos e noventa e seis; n igual a menos um produz invalid_input. O contrato é JSON estável adequado a testes unitários, demos de sala de aula e pipelines em lote. O preço das chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde os números de Catalan aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Casos de integração
Fixtures de competições e lições
Gere strings decimais exatas de C(n) para problemas de olimpíada, exercícios de programação e gabaritos automatizados que rejeitam deriva em ponto flutuante.