Catalan-Zahlen-Rechner
Sie erhalten die exakte n-te Catalan-Zahl: C(5) ist 42 und C(10) ist 16796, Ziffer für Ziffer ausgeschrieben und ohne Rundung, auch für sehr große n. Praktisch für Kombinatorik-Aufgaben, Lösungsblätter und die Prüfung von Rekursionen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 5
- Wert
- 42
Catalan-Zahlen zählen ausgewogene Strukturen, die überall in der Kombinatorik und Informatik vorkommen: korrekt gepaarte Klammern, Binärbäume mit n+1 Blättern, kreuzungsfreie Händedrücke, monotone Gitterwege, die nie über die Diagonale steigen, und Triangulierungen eines konvexen Polygons. Die geschlossene Formel lautet C(n) gleich eins durch n plus eins mal dem zentralen Binomialkoeffizienten von 2n über n, mit dem Basisfall C(0) gleich eins. Dieser Rechner akzeptiert einen nichtnegativen ganzzahligen Index n und liefert den exakten Catalan-Wert als Dezimalzeichenkette, berechnet mit BigInt-Arithmetik, sodass Terme weit jenseits gewöhnlicher Gleitkomma- oder sicherer Integer-Grenzen zifferngenau korrekt bleiben. Negative Indizes werden mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt statt einer stillschweigend falschen Antwort.
Wie die n-te Catalan-Zahl definiert und berechnet wird
Die Catalan-Folge beginnt mit C(0) gleich eins, C(1) gleich eins, C(2) gleich zwei, C(3) gleich fünf, C(4) gleich vierzehn, C(5) gleich zweiundvierzig, C(6) gleich hundertzweiunddreißig und wächst grob wie vier hoch n durch n hoch drei Halbe. Die klassische Formel C(n) gleich Binomial von 2n über n geteilt durch n plus eins ist exakt für jede nichtnegative ganze Zahl n; eine äquivalente Produktform multipliziert aufeinanderfolgende Faktoren, ohne zuerst den vollständigen Binomialzähler zu bilden.
Diese Implementierung verwendet nie Gleitkomma-Näherung oder Binet-ähnliche Abkürzungen: sie startet bei C(0) gleich eins und wendet die exakte Rekurrenz C(i) gleich C(i minus eins) mal vier i minus zwei, alles geteilt durch i plus eins, für i von eins bis n an, mit BigInt, sodass jede Zwischen- und Endziffer ganzzahlig exakt ist. Der Pfad ist vollständig deterministisch—keine Zufallsseeds, keine Uhren, kein Netz und keine Modelldrift—sodass dasselbe n stets dieselbe Zeichenkette ergibt.
Wo Catalan-Zahlen in der realen Arbeit vorkommen
Compiler- und Sprachwerkzeuge zählen Dyck-Wörter, ausgewogene Klammern und Formen abstrakter Syntaxbäume, die Catalan-Zahlen aufzählen; eine exakte C(n)-Prüfung bestätigt Tabellengrößen und dynamische Programmierungs-Rekurrenzen ohne Eins-Fehler. Diskrete-Mathematik- und Kombinatorik-Lehrende brauchen die klassische Folge auf Folien und Lösungsschlüsseln: korrekt gepaarte Klammern von n Paaren, Binärbäume, Polygontriangulierungen und kreuzungsfreie Partitionen teilen C(n), und eine einzige Rechnerseite hält Demos über diese Interpretationen ehrlich. Produktdemos und Interviewvorbereitung zeigen oft eine kurze Catalan-Tabelle; C(n) in einem Aufruf zu berechnen hält interaktive Demos mit Lehrbüchern im Einklang.
Wenn Sie später Motzkin-, Schröder-, Ballot-Zahlen oder modulare Catalan-Werte für kryptografisch große n brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten statt diese Rechnerseite zu überladen.
Anwendungsfälle
Ausgewogene Strukturen unterrichten
Zeigen Sie Studierenden die Catalan-Folge als exakte Zeichenketten, damit große Terme korrekt bleiben und C(0)=1 bis C(5)=42 den Lehrbuchtabellen entspricht.
Compiler- und DP-Tabellengrößen
Bestätigen Sie, wie viele ausgewogene Bäume, Dyck-Wörter oder Triangulierungen der Größe n existieren, wenn Sie Tabellen dimensionieren oder Rekurrenzcode validieren.
Häufige Fragen
Welche Formel verwendet dieser Catalan-Rechner?
C(n) = (1/(n+1)) × binomial(2n, n), berechnet über die exakte Rekurrenz C(i) = C(i−1)×(4i−2)/(i+1) mit BigInt. C(0) = 1.
Warum ist value eine Zeichenkette statt einer Zahl?
Catalan-Zahlen wachsen über JavaScript-sichere Integer hinaus bei C(30). Dezimalzeichenketten halten jede Ziffer für große n exakt.
Was passiert, wenn n negativ ist?
Catalan-Zahlen sind für n >= 0 definiert; negative Indizes werden nicht akzeptiert.
Ist C(0) erlaubt?
Ja. C(0) ist 1 nach der Standarddefinition. Nur negatives n wird abgelehnt.
Wie schnell wachsen die Catalan-Zahlen?
Ungefähr wie 4 hoch n geteilt durch n hoch drei Halbe. Die Folge beginnt mit 1, 1, 2, 5, 14, 42 und 132, und schon C(10) erreicht 16796.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
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"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
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"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.catalan_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
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}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
min_n | 0 |
max_n | 5000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Das kostenlose Browser-Werkzeug und die kostenpflichtige API teilen eine reine Funktion, sodass Hausaufgaben-Demos und automatisierte Pipelines beim gleichen n nie stillschweigend divergieren.
Wie die n-te Catalan-Zahl definiert und berechnet wird
Die Rückgabe als Dezimalzeichenkette hält JSON-Konsumenten ehrlich: Catalan-Zahlen verlassen den sicheren Integer-Bereich gewöhnlicher JavaScript-Zahlen bei C(30), und ein numerischer Typ würde stillschweigend runden. Grenzen halten n zwischen null und fünftausend, damit die Worst-Case-Latenz für ein kostenloses In-Browser-Werkzeug und einen leichten Worker-Pfad geeignet bleibt und zugleich Wettbewerbs-, Unterrichts- und Pipeline-Bedarf abdeckt.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Der Fehler für negatives n besagt, dass Catalan-Zahlen für n größer oder gleich null definiert sind, sodass Formularclients und Skripte die Eingabe korrigieren können, ohne zu raten. Bei Erfolg enthält die Antwort stets das normalisierte n und value als die exakte n-te Catalan-Zahl in Dezimalschreibweise. Geben Sie eine erforderliche nichtnegative ganze Zahl unter dem Feld n an, oder die Aliase number oder index. Der Wert muss eine ganze Zahl von null bis fünftausend einschließlich sein; fehlende Felder, Nicht-Ganzzahlen, Dezimalzahlen und jedes n unter null werden mit invalid_input abgelehnt und nicht berechnet. Beispielprüfungen: n gleich null liefert value eins; n gleich eins liefert value eins; n gleich zwei liefert value zwei; n gleich drei liefert value fünf; n gleich fünf liefert value zweiundvierzig; n gleich zehn liefert value sechzehntausendsiebenhundertsechsundneunzig; n gleich minus eins liefert invalid_input. Der Vertrag ist stabiles JSON geeignet für Unit-Tests, Unterrichtsdemos und Stapel-Pipelines. Die Preise für erfolgreiche API-Aufrufe sind die veröffentlichte Basis von $0.002 pro Element; Validierungsfehler verbrauchen kein Prepaid-Guthaben.
Wo Catalan-Zahlen in der realen Arbeit vorkommen
Da diese Fähigkeit eine reine Parse-Engine ist, ist der API-Preis die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Element und fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Integrationsbeispiele
Wettbewerbs- und Hausaufgaben-Fixtures
Erzeugen Sie exakte C(n)-Dezimalzeichenketten für Olympiadeaufgaben, Programmierübungen und automatisierte Lösungsschlüssel, die Gleitkomma-Drift ablehnen.
Technische Fragen
Was kostet es?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen Prepaid-KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.