Hexagonalzahlen-Rechner
Die fünfte Hexagonalzahl ist 45. Geben Sie eine Position ein und erhalten Sie die exakte Hexagonalzahl mit allen Stellen, auch bei riesigen Werten, oder prüfen Sie bei einer ganzen Zahl, ob sie hexagonal ist und an welcher Stelle. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 5
- Wert
- 45
Hexagonalzahlen bilden die figurierte Folge, die Punkte in einem regelmäßigen Sechseck zählt: einen im Zentrum, wenn n eins ist, danach aufeinanderfolgende hexagonale Ringe. Die geschlossene Formel lautet H(n)=n(2n−1), sodass die Folge bei null beginnt (wenn n null ist), dann eins, sechs, fünfzehn, achtundzwanzig, fünfundvierzig, sechsundsechzig und so weiter. Jede Hexagonalzahl ist zugleich eine Dreieckszahl, nämlich die Dreieckszahl am Index 2n−1; deshalb tauchen diese Werte in Gitterpackungen, der Unterhaltungsmathematik und Programmierwettbewerbsaufgaben zu figurierten Folgen auf. Dieser Rechner nimmt einen nichtnegativen Index n entgegen und liefert den exakten hexagonalen Wert als Dezimalzeichenkette, oder er nimmt eine beliebige nichtnegative Ganzzahl entgegen und meldet, ob sie hexagonal ist, zusammen mit dem passenden Index, falls ja. Negative Indizes werden mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt statt mit einer stillschweigend falschen Antwort.
Wie die n-te Hexagonalzahl definiert und geprüft wird
Die hexagonale Folge nutzt das kompakte Produkt H(n)=n(2n−1). Ausmultiplizieren liefert die quadratische Form 2n²−n, die diskrete Fläche eines aus Einheitspunkten gebauten Sechsecks. Dieselben Zahlen erscheinen als jede zweite Dreieckszahl: H(n)=T(2n−1), sodass hexagonale Zugehörigkeit ein strengerer Filter auf der Dreiecksfolge ist.
Gleichwertig muss 1+8x eine perfekte Quadratzahl s² sein und 1+s durch 4 teilbar. Diese Implementierung verwendet nie Gleitkomma-Quadratwurzeln oder Rundung: sie berechnet H(n) mit BigInt-Multiplikation und prüft die Zugehörigkeit mit exakter ganzzahliger Quadratwurzel und modularer Prüfung, sodass jede Ziffer großer Ergebnisse korrekt bleibt. Der Pfad ist vollständig deterministisch —ohne Zufallsseeds, Uhren, Netz und ohne Modelldrift—, sodass dasselbe n stets dieselbe Zeichenkette liefert und derselbe Wert stets dieselbe Ja-oder-Nein-Zugehörigkeitsantwort erhält.
Wo Hexagonalzahlen in der Praxis vorkommen
Lehrende der diskreten Mathematik und Kombinatorik brauchen die klassische Folge auf Folien und Lösungsschlüsseln: zentrierte hexagonale Gitter, Honigwaben und Hierarchien polygonaler Zahlen teilen H(n), und eine einzige Rechner-Landing hält Demos über diese Deutungen ehrlich. Aufgaben im Stil von Project Euler und Rätsel der Unterhaltungsmathematik kombinieren oft Dreiecks-, Fünfecks- und Sechsecksfilter; ein exakter Zugehörigkeitstest vermeidet Off-by-one-Fehler, wenn Lernende das inverse Wurzelkriterium selbst implementieren. Datenstruktur- und Grafikdemos, die Punkte in hexagonalen Ringen anordnen, können Ringgrößen gegen H(n) vor dem Rendern validieren.
Produktdemos und Interviewvorbereitung zeigen oft eine kurze Polygonaltabelle; H(n) zu berechnen oder einen Kandidaten in einem Aufruf zu prüfen hält interaktive Demos an Lehrbüchern ausgerichtet. Wenn Sie später Fünfeckszahlen, zentrierte Hexagonalzahlen, hexagonal-pyramidale Volumina oder modulare figurierte Werte für kryptographisch große Indizes brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchintentionen statt diese Hexagonalrechner-Landing zu überladen.
Anwendungsfälle
Figurierte Zahlen unterrichten
Zeigen Sie Lernenden die hexagonale Folge als exakte Zeichenketten, damit große Terme korrekt bleiben und H(1)=1 bis H(5)=45 mit Lehrbuchtabellen und Gitterdiagrammen übereinstimmt.
Polygonale Filter in Pipelines
Prüfen Sie Kandidaten-Ganzzahlen auf Hexagonalität, wenn Sie Dreiecks-, Fünfecks- und Sechsecksbeschränkungen in Batch-Skripten oder Project-Euler-artigen Solvern kombinieren.
Häufige Fragen
Welche Formel verwendet dieser Hexagonalrechner?
H(n)=n(2n−1), berechnet mit exakter BigInt-Multiplikation. Zugehörigkeit nutzt die Umkehrung: n=(1+√(1+8x))/4 muss eine nichtnegative Ganzzahl sein (ganzzahlige Wurzel, keine Floats).
Warum ist value eine Zeichenkette statt einer Zahl?
Hexagonalzahlen wachsen wie O(n²) und verlassen schließlich die sicheren JavaScript-Ganzzahlen. Dezimalzeichenketten halten jede Ziffer für große n und große Prüfungen exakt.
Was geschieht, wenn n negativ ist?
Hexagonale Indizes sind für n ≥ 0 definiert; negative Indizes werden nicht akzeptiert.
Ist H(0) erlaubt?
Ja. H(0) ergibt 0 unter der Produktformel. Nur negatives n wird abgelehnt. Der Zugehörigkeitstest behandelt 0 ebenfalls als hexagonal mit Index 0.
Wie erkenne ich, ob eine Zahl eine Hexagonalzahl ist?
Geben Sie die Zahl zur Prüfung ein: Sie erfahren, ob sie hexagonal ist, und bei einem Ja auch ihre Position, bei 45 etwa die fünfte. Dahinter steht die Regel, dass eins plus achtmal die Zahl ein Quadrat sein muss und eins plus dessen Wurzel durch vier teilbar.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/hexagonal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/hexagonal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/hexagonal-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/hexagonal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/hexagonal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.hexagonal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
min_n | 0 |
max_n | 10000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Das kostenlose Browser-Werkzeug und die kostenpflichtige API teilen eine reine Funktion, sodass Unterrichtsdemos und automatisierte Pipelines bei demselben n oder demselben Zugehörigkeitstest nie stillschweigend auseinanderlaufen.
Wie die n-te Hexagonalzahl definiert und geprüft wird
Mit n ab null erhalten Sie H(0)=0; mit n=1 erhalten Sie 1; n=2 ergibt 6; n=3 ergibt 15; n=4 ergibt 28; n=5 ergibt 45. Um zu entscheiden, ob ein Kandidat x hexagonal ist, ohne die ganze Folge zu durchlaufen, lösen Sie die Quadratgleichung 2n²−n−x=0 und verlangen, dass die positive Wurzel n=(1+√(1+8x))/4 eine nichtnegative Ganzzahl ist. Rückgabe als Dezimalzeichenketten hält JSON-Verbraucher ehrlich, wenn Terme den sicheren Integer-Bereich von JavaScript verlassen. Grenzen halten n zwischen 0 und zehn Millionen, damit die Worst-Case-Latenz für ein kostenloses Browser-Werkzeug und einen leichten Worker-Pfad geeignet bleibt.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Mindestens eines von n oder value ist erforderlich; Sie dürfen beide in einem Aufruf senden. Der Fehler bei negativem n stellt klar, dass Hexagonalzahlen für n größer oder gleich 0 definiert sind, damit Formularclients und Skripte die Eingabe korrigieren können, ohne zu raten. Auf einem erfolgreichen Berechnungspfad enthält die Antwort das normalisierte n, value als exaktes H(n) in Dezimalform und formula als die Zeichenkette n mal Klammer 2n minus eins. Geben Sie eine nichtnegative Ganzzahl im Feld n oder dem Alias index an, um die n-te Hexagonalzahl zu berechnen. Geben Sie eine nichtnegative Ganzzahl im Feld value oder den Aliassen check oder number an, um zu prüfen, ob diese Ganzzahl hexagonal ist. Fehlende Felder, Nicht-Ganzzahlen, Dezimalzahlen und jedes negative n werden mit invalid_input abgelehnt und nicht berechnet. Auf einem erfolgreichen Prüfpfad enthält sie check_value, is_hexagonal als booleschen Wert, value als Dezimalform der Eingabe und bei wahrer Antwort auch n und hexagonal_index des passenden Index. Beispiele: n=5 liefert value 45; n=1 liefert 1; n=2 liefert 6; value 45 liefert is_hexagonal true mit Index 5; value 10 liefert is_hexagonal false; n=−1 liefert invalid_input mit Hinweis auf Negative. Der Vertrag ist stabiles JSON, geeignet für Unit-Tests, Unterrichtsdemos und Batch-Pipelines. Der Preis erfolgreicher API-Aufrufe ist die veröffentlichte Basis von $0.002 pro Element; Validierungsfehler verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben.
Wo Hexagonalzahlen in der Praxis vorkommen
Weil diese Fähigkeit eine reine Parse-Engine ist, beträgt der API-Preis die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Element und fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Integrationsbeispiele
Wettbewerbs- und Hausaufgaben-Fixtures
Erzeugen Sie exakte H(n)-Dezimalzeichenketten und Zugehörigkeitsantworten für Olympiadeaufgaben, Programmierübungen und automatisierte Antwortschlüssel, die Gleitkomma-Drift ablehnen.
Technische Fragen
Was kostet es?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.