Automorphe Zahlen prüfen

Eine automorphe Zahl—manchmal Kreiszahlen genannt—ist eine nichtnegative ganze Zahl n, sodass n zum Quadrat genau mit denselben Dezimalziffern endet wie n selbst. Klassische einstellige Fälle sind null, eins, fünf und sechs: null zum Quadrat ist null, eins zum Quadrat eins, fünf zum Quadrat fünfundzwanzig und sechs zum Quadrat sechsunddreißig. Längere Beispiele wie fünfundzwanzig (sechshundertfünfundzwanzig), sechsundsiebzig (fünftausendsiebenhundertsechsundsiebzig), dreihundertsechsundsiebzig und sechshundertfünfundzwanzig erscheinen in Wettbewerbsaufgaben, freizeitorientierter Zahlentheorie und Unterrichtsdemos modularer Arithmetik. Dieser Prüfer nimmt eine einzelne nichtnegative ganze Zahl n, berechnet n zum Quadrat mit exakter Ganzzahlarithmetik, zählt die Dezimalziffern von n, testet ob das Quadrat mit n endet und liefert sowohl das boolesche Urteil als auch das Quadrat, damit Sie die Endziffern prüfen können. Negative Eingaben werden mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt statt mit einem stillen Falsch-Ergebnis.

Was eine automorphe Zahl ausmacht

Eine automorphe Zahl, manchmal auch zirkuläre Zahl genannt, ist eine nicht negative ganze Zahl, deren Quadrat auf genau dieselben Ziffern endet wie sie selbst. Die einstelligen Fälle sind 0, 1, 5 und 6: Fünf zum Quadrat ist 25, und das endet auf 5. Bei 25 ergibt das Quadrat 625, und auch hier wiederholen die letzten beiden Ziffern die Zahl. Gerechnet wird mit exakten ganzen Zahlen, also ohne jede Rundung. Zuerst wird das Quadrat gebildet, dann die Stellenzahl der Ausgangszahl bestimmt, und schließlich werden genau so viele Endziffern des Quadrats mit der Zahl verglichen.

Wofür man sie nutzt und typische Fehler

Automorphe Zahlen tauchen in Wettbewerbsaufgaben, in der Unterhaltungsmathematik und im Unterricht über Stellenwerte und Restrechnung auf. Dass Quadrate von Zahlen mit der Endziffer 5 oder 6 wieder auf 5 oder 6 enden, kennen viele Schüler; automorphe Zahlen übertragen dieses Muster auf mehrstellige Endungen. Ein häufiger Fehler ist, nur die letzte Ziffer zu vergleichen: Bei 10 endet das Quadrat 100 zwar auf eine Null, aber die letzten beiden Ziffern ergeben nicht 10. Weil das vollständige Quadrat immer mit angezeigt wird, können Sie die Endung selbst nachprüfen.

Wie der automorphe Test und n zum Quadrat berechnet werden

Beginnen Sie mit einer nichtnegativen ganzen Zahl n im Zehnersystem. Berechnen Sie das exakte Quadrat s gleich n mal n mit Ganzzahlarithmetik, sodass es keine Gleitkomma-Rundung gibt. Zählen Sie die Dezimalziffern d von n: null hat eine Ziffer, und für jedes positive n ist die Ziffernanzahl die Anzahl der Teilungen durch zehn bis nichts übrig bleibt.

Die automorphe Eigenschaft gilt genau dann, wenn die letzten d Dezimalziffern von s genau die Ziffern von n sind. Algebraisch ist das die modulare Kongruenz s kongruent zu n modulo zehn hoch d, geschrieben s mod 10^d gleich n.

Wo automorphe Prüfungen in realer Arbeit vorkommen

Unterrichtsstunden zu modularer Arithmetik und Stellenwert nutzen bereits Endziffer-Muster für fünf und sechs; automorphe Zahlen erweitern diese Intuition auf mehrstellige Endungen und geben Studierenden eine benannte Familie zum Erkunden mit fünfundzwanzig, sechsundsiebzig und längeren Verwandten. Produkt- und Datenteams brauchen manchmal deterministische Strukturprüfungen an numerischen Kennungen oder generierten Codes, wenn eine volle kryptografische Prüfsumme schwerer wäre als nötig; ein exaktes Endet-mit-Quadrat-Flag plus das Quadrat selbst ist ein einfaches Gate, das offline geprüft werden kann.

Wenn Sie später Bereichsaufzählung aller automorphen Zahlen, automorphe Formen zur Basis b oder Eindeutigkeitsbeweise der beiden unendlichen Folgen brauchen, behandeln Sie das als getrennte Suchabsichten statt diese Landing zu überladen.