Kaprekar-Zahl-Prüfer

Der Kaprekar-Zahl-Prüfer beantwortet eine klassische unterhaltsame zahlentheoretische Frage: Lassen sich für eine positive Ganzzahl n die Dezimalziffern von n zum Quadrat in einen linken und einen rechten Teil aufteilen, die sich zu n selbst addieren? Geben Sie n an, und das Werkzeug liefert die exakte Dezimal-Zeichenkette des Quadrats, den gewinnenden linken und rechten Teil, wenn ein gültiger Split existiert, und ein boolesches kaprekar-Flag, das genau dann wahr ist, wenn ein solcher Split gefunden wird. Berühmte Beispiele sind fünfundvierzig (fünfundvierzig zum Quadrat ist zweitausendfünfundzwanzig, und zwanzig plus fünfundzwanzig ergibt fünfundvierzig) und zweihundertsiebenundneunzig (achtundachtzigtausendzweihundertneun teilt sich als achtundachtzig plus zweihundertneun auf). Die Engine nutzt deterministische BigInt-Arithmetik und einen erschöpfenden Scan der Splitpunkte, sodass das Ergebnis frei von Gleitkomma-Drift und bei jedem Lauf identisch ist. Sie ruft niemals das Netzwerk auf, erzeugt niemals Zufälligkeit und hängt niemals von der Uhr ab.

Was eine Kaprekar-Zahl ist und was die Antwort enthält

Eine positive Ganzzahl n ist eine Kaprekar-Zahl, wenn die Dezimaldarstellung von n zum Quadrat in zwei zusammenhängende Teile geteilt werden kann — einen linken und einen rechten Teil —, sodass sich diese beiden Ganzzahlen exakt zu n summieren. Der rechte Teil darf als Ziffernkette mit Nullen beginnen, darf aber nicht vollständig null sein; diese Regel weist korrekt Zahlen wie hundert zurück, deren Quadrat zehntausend ist und nur „funktioniert“, wenn eine rein null-haltige rechte Hälfte erlaubt wäre.

Nach langjähriger Konvention ist die Zahl eins eine Kaprekar-Zahl: eins zum Quadrat ist eins, gelesen als null plus eins. Neun ist eine Kaprekar-Zahl, weil einundachtzig sich als acht plus eins aufteilt. Fünfundvierzig und fünfundfünfzig sind die bekanntesten zweistelligen Beispiele; neunundneunzig, zweihundertsiebenundneunzig und siebenhundertdrei erscheinen in jeder Standardliste.

Zehn ist zusammengesetzt und positiv, aber keine Kaprekar-Zahl: hundert lässt sich nicht in nicht null-haltige rechte Teile aufteilen, die sich zu zehn summieren. Dieser Prüfer liefert das geparste n, die exakte Quadrat-Zeichenkette, left und right, wenn ein gültiger Split existiert (andernfalls null), und kaprekar gleich wahr genau dann, wenn ein gültiger Split gefunden wurde. Nicht-Kaprekar-positive Ganzzahlen sind gültige erfolgreiche Antworten mit kaprekar false; sie sind keine Fehler.

Wenn Sie nur das Quadrat einer Ganzzahl ohne den Kaprekar-Split-Test benötigen, quadrieren Sie sie selbst; diese Seite beantwortet die Kaprekar-Zahl-Frage mit beiden Teilen des gewinnenden Splits, wenn einer existiert.

Wie Eingaben gelesen werden und wie der Quadrat-Split exakt bleibt

Optionale führende Pluszeichen sind für positive Werte erlaubt; eingebettete Leerzeichen, Hex-Präfixe und Exponentialnotation werden zurückgewiesen, damit eine fehlerhafte Zelle nicht zu einem falschen Flag wird. Negative Ganzzahlen und null werden zurückgewiesen, da dieser Prüfer Kaprekar-Zahlen für positive Ganzzahlen ab eins definiert. Die Engine bleibt für die Eingabe innerhalb sicherer JavaScript-Ganzzahlen, was für Schulaufgaben, Programmierwettbewerbe und die meisten angewandten Prüfungen bei moderat großem n mehr als ausreicht.

Der Algorithmus durchläuft dann jeden Split-Index von eins bis zum letzten Ziffernindex exklusiv: Für jeden Index liest er left als das Ganzzahlpräfix und right als das Ganzzahlsuffix, überspringt Suffixe, die vollständig aus Nullen bestehen, und akzeptiert das erste Paar, dessen Summe n entspricht. Es gibt keinen Gleitkomma-Schritt, der eine Beinahe-Übereinstimmung zu einer falschen Kaprekar-Behauptung runden könnte.

Wo Kaprekar-Prüfungen bei Studium, Forschungsdemos und Code Anwendung finden

Studierende begegnen Kaprekar-Zahlen, wenn sie unterhaltsame Zahlentheorie, ziffernbasierte Eigenschaften und Kuriositäten erkunden, die nach D. R. Kaprekar benannt sind, zusammen mit Kaprekars Konstante sechstausendeinhundertvierundsiebzig aus seiner Routine für vierstellige Umordnungen. Lehrkräfte können Lösungsschlüssel für Arbeitsblätter erzeugen, ohne undurchsichtigen Taschenrechner-Apps zu vertrauen, die den Quadrat-und-Split-Schritt verbergen.

Entwickler nutzen denselben Vertrag, um Beispieldaten für zahlentheoretische Bibliotheken zu validieren, um Property-Tests auf zufälligen Ganzzahlgeneratoren zu gaten, oder um vorab zu prüfen, dass ein Startwert in der Kaprekar-Klasse liegt, bevor ein Demonstrationsschritt folgt. Wettbewerbspraxis braucht oft eine schnelle Offline-Quelle für Kaprekar-Antworten, damit Lösungen ohne das Herunterladen von OEIS-Tabellen geprüft werden können. Kombinieren Sie ihn mit einem Smith-Zahl-Prüfer, wenn Sie Ziffernsummen von Primfaktoren benötigen, mit einem Prüfer für abundante Zahlen, wenn Sie eine Teilersummen-Klassifizierung benötigen, und mit Primfaktorzerlegung, wenn Sie Primpotenzen statt Quadrat-Splits benötigen.