Comprobador de números de Kaprekar

El comprobador de números de Kaprekar responde a una pregunta clásica de teoría de números recreativa: para un entero positivo n, ¿pueden los dígitos decimales de n al cuadrado dividirse en una parte izquierda y una parte derecha que sumen de vuelta n mismo? Proporcione n y la herramienta devuelve la cadena decimal exacta del cuadrado, las partes izquierda y derecha ganadoras cuando existe una división válida, y un indicador booleano kaprekar que es true exactamente cuando se encuentra esa división. Ejemplos famosos incluyen cuarenta y cinco (cuarenta y cinco al cuadrado es dos mil veinticinco, y veinte más veinticinco es igual a cuarenta y cinco) y doscientos noventa y siete (ochenta y ocho mil doscientos nueve se divide como ochenta y ocho más doscientos nueve). El motor usa aritmética BigInt determinista y un barrido exhaustivo de puntos de división, así que el resultado está libre de deriva de punto flotante y es idéntico en cada ejecución. Nunca llama a la red, nunca muestrea aleatoriedad, y nunca depende del reloj.

Qué es un número de Kaprekar y qué contiene la respuesta

Un entero positivo n es un número de Kaprekar cuando la representación decimal de n al cuadrado puede dividirse en dos partes contiguas —una izquierda y una derecha— tales que esos dos enteros suman exactamente n. La parte derecha puede comenzar con ceros al leerse como cadena de dígitos, pero no debe ser completamente cero; esa regla rechaza correctamente números como cien, cuyo cuadrado es diez mil y solo «funciona» si se permite una mitad derecha de cero.

Por convención de larga data, el número uno es Kaprekar: uno al cuadrado es uno, leído como cero más uno. Nueve es Kaprekar porque ochenta y uno se divide como ocho más uno. Cuarenta y cinco y cincuenta y cinco son los ejemplos de dos dígitos más conocidos; noventa y nueve, doscientos noventa y siete y setecientos tres aparecen en toda lista estándar.

Diez es compuesto y positivo, pero no es Kaprekar: cien no puede dividirse en partes derechas distintas de cero que sumen diez. Este comprobador devuelve el n analizado, la cadena exacta square, left y right cuando existe una división válida (de lo contrario null), y kaprekar en true si y solo si se encontró una división válida. Los enteros positivos que no son Kaprekar son respuestas exitosas válidas con kaprekar en false; no son errores.

Si solo necesita el cuadrado de un entero sin la prueba de división de Kaprekar, elévelo usted mismo al cuadrado; esta página responde a la pregunta del número de Kaprekar con ambas partes de la división ganadora cuando existe.

Cómo se leen las entradas y cómo se mantiene exacta la división del cuadrado

Se permiten signos más iniciales opcionales para valores positivos; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales y la notación exponencial se rechazan para que una celda mal escrita no se convierta en un indicador incorrecto. Los enteros negativos y el cero se rechazan porque este comprobador define los números de Kaprekar sobre enteros positivos que comienzan en uno.

El motor se mantiene dentro de los enteros seguros de JavaScript para la entrada, lo cual es más que suficiente para problemas de aula, concursos de programación y la mayoría de las comprobaciones aplicadas sobre n moderadamente grandes. El algoritmo entonces recorre cada índice de división desde uno hasta el penúltimo dígito: para cada índice lee left como el prefijo entero y right como el sufijo entero, omite los sufijos que son todos ceros, y acepta el primer par cuya suma sea igual a n.

No hay ningún paso de punto flotante que pudiera redondear una coincidencia cercana hacia una falsa afirmación de Kaprekar.

Dónde encajan las comprobaciones de Kaprekar en el estudio, las demostraciones de investigación y el código

Los estudiantes se encuentran con los números de Kaprekar al explorar la teoría de números recreativa, las propiedades basadas en dígitos, y las curiosidades nombradas en honor a D. R. Kaprekar junto con la constante de Kaprekar seis mil ciento setenta y cuatro de su rutina sobre reordenamientos de cuatro dígitos. Los docentes pueden generar claves de respuesta para hojas de trabajo sin confiar en apps de calculadora opacas que ocultan el paso de elevar al cuadrado y dividir.

Los desarrolladores usan el mismo contrato para validar datos de muestra de bibliotecas de teoría de números, para condicionar pruebas de propiedades sobre generadores de enteros aleatorios, o para comprobar de antemano que una semilla está en la clase de Kaprekar antes de un paso de demostración. La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida y sin conexión de respuestas de Kaprekar para que las soluciones puedan verificarse sin descargar tablas de OEIS.

Combínela con un comprobador de números de Smith cuando necesite sumas de dígitos de factores primos, con un comprobador de números abundantes cuando necesite clasificación por suma de divisores, y con la factorización en primos cuando necesite potencias primas en lugar de divisiones del cuadrado.