Comprobador de números abundantes

El comprobador de números abundantes responde a una pregunta clásica de teoría de números: ¿la suma de los divisores propios positivos de n supera a n mismo? Proporcione un entero positivo n y la herramienta devuelve la suma alícuota, la cantidad de abundancia (suma alícuota menos n), y un indicador booleano abundant que es true exactamente cuando esa diferencia es positiva. El motor usa división de prueba determinista hasta la raíz cuadrada de n, así que el resultado es exacto, libre de deriva de punto flotante e idéntico en cada ejecución. Nunca llama a la red, nunca muestrea aleatoriedad, y nunca depende del reloj.

Qué significa abundante y qué contiene la respuesta

Un entero positivo n es abundante cuando su suma alícuota —la suma de todos los divisores positivos de n excluyendo a n mismo— es estrictamente mayor que n. De forma equivalente, la cantidad de abundancia, definida como la suma alícuota menos n, es un entero positivo. El número abundante más pequeño es doce: sus divisores propios uno, dos, tres, cuatro y seis suman dieciséis, así que la abundancia es cuatro.

Dieciocho es abundante con suma alícuota veintiuno y abundancia tres. En cambio, seis es perfecto porque sus divisores propios suman exactamente seis, y diez es deficiente porque uno más dos más cinco es igual a ocho. Las entradas perfectas y deficientes son, por lo tanto, respuestas válidas con abundant en false y abundance menor o igual a cero; no son errores.

Uno tiene un conjunto vacío de divisores propios, así que su suma alícuota es cero y es deficiente. Si necesita los factores primos de un solo entero en lugar de la clasificación de abundancia, use una herramienta de factorización; esta página responde solo a la pregunta de número abundante con la cantidad de abundancia.

Cómo se leen las entradas y cómo se mantiene exacta la suma alícuota

Se permiten signos más iniciales opcionales para valores positivos; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales y la notación exponencial se rechazan para que una celda mal escrita no se convierta en un indicador incorrecto. Los enteros negativos y el cero se rechazan porque la abundancia se define sobre enteros positivos en este comprobador. El motor se mantiene dentro de los enteros seguros de JavaScript, lo cual es más que suficiente para problemas de aula, concursos de programación y la mayoría de las comprobaciones aplicadas sobre n moderadamente grandes.

Internamente, los divisores propios se recopilan por división de prueba: recorra d desde dos hasta el piso de la raíz cuadrada de n, y siempre que d divida a n, sume tanto d como n dividido entre d cuando esos compañeros sean distintos y ninguno sea igual a n, contando siempre uno para n mayor que uno. Ese procedimiento necesita solo un puñado de comprobaciones modulares para entradas ordinarias y nunca aproxima. No hay ningún paso de punto flotante que pudiera redondear un casi-entero hacia una falsa afirmación de abundancia.

Dónde encajan las comprobaciones de abundancia en el estudio, las demostraciones de investigación y el código

Los estudiantes se encuentran con los números abundantes al aprender sobre sus compañeros perfectos y deficientes, al explorar la estructura de números altamente compuestos, y al leer sobre cadenas sociables y amigables que comienzan desde mapas alícuotas. Los docentes pueden generar claves de respuesta para hojas de trabajo sin confiar en apps de calculadora opacas que ocultan la suma de divisores.

Los desarrolladores usan el mismo contrato para validar datos de muestra de bibliotecas de teoría de números, para condicionar pruebas de propiedades sobre generadores de enteros aleatorios, o para comprobar de antemano que una semilla está en la clase abundante antes de un paso de simulación. La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida y sin conexión de respuestas de abundancia para que las soluciones puedan verificarse sin descargar tablas de OEIS.

Combínela con la factorización en primos cuando necesite las potencias primas detrás de un solo entero, con un comprobador de coprimalidad cuando necesite pruebas de mcd por pares, y con una herramienta de n-ésimo primo cuando necesite rangos en lugar de sumas de divisores.