Verificador de número abundante

O verificador de número abundante responde a uma pergunta clássica de teoria dos números: a soma dos divisores positivos próprios de n excede o próprio n? Informe um inteiro positivo n e a ferramenta retorna a soma alíquota, o valor de abundância (soma alíquota menos n), e um sinalizador booleano abundant que é true exatamente quando essa diferença é positiva. O mecanismo usa divisão por tentativa determinística até a raiz quadrada de n, então o resultado é exato, livre de desvio de ponto flutuante, e idêntico a cada execução. Ele nunca chama a rede, nunca amostra aleatoriedade, e nunca depende do relógio.

O que significa abundante e o que a resposta contém

Um inteiro positivo n é abundante quando sua soma alíquota — a soma de todos os divisores positivos de n, excluindo o próprio n — é estritamente maior que n. De forma equivalente, o valor de abundância, definido como soma alíquota menos n, é um inteiro positivo. O menor número abundante é doze: os divisores próprios um, dois, três, quatro e seis somam dezesseis, então a abundância é quatro.

Dezoito é abundante com soma alíquota vinte e um e abundância três. Em contraste, seis é perfeito porque seus divisores próprios somam exatamente seis, e dez é deficiente porque um mais dois mais cinco é igual a oito. Entradas perfeitas e deficientes são, portanto, respostas válidas com abundant false e abundance menor ou igual a zero; elas não são erros.

Um tem um conjunto vazio de divisores próprios, então sua soma alíquota é zero e ele é deficiente. Se você precisar de fatores primos de um único inteiro, em vez de classificação de abundância, use uma ferramenta de fatoração; esta página responde apenas à pergunta sobre número abundante, com o valor de abundância.

Como as entradas são lidas e como a soma alíquota permanece exata

Sinais de mais à esquerda são permitidos para valores positivos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais e notação exponencial são rejeitados, para que uma célula ruim não vire um sinalizador errado. Inteiros negativos e zero são rejeitados porque a abundância é definida em inteiros positivos neste verificador. O mecanismo permanece dentro dos inteiros seguros do JavaScript, o que é mais que suficiente para problemas de sala de aula, concursos de programação, e a maioria das verificações aplicadas em n moderadamente grandes.

Internamente, os divisores próprios são coletados por divisão de tentativa: percorra d de dois até o piso da raiz quadrada de n, e sempre que d dividir n, adicione tanto d quanto n dividido por d quando esses parceiros forem distintos e nenhum for igual a n, sempre contando um para n maior que um. Esse procedimento precisa de apenas algumas verificações modulares para entradas comuns e nunca aproxima. Não há passo em ponto flutuante que pudesse arredondar um quase-inteiro em uma falsa afirmação de abundância.

Onde as verificações de abundância se encaixam no estudo, em demonstrações de pesquisa e no código

Estudantes encontram números abundantes ao aprender companheiros perfeitos e deficientes, ao explorar estrutura altamente composta, e ao ler sobre cadeias sociáveis e amigáveis que começam a partir de mapas alíquotas. Professores podem gerar gabaritos para planilhas de exercícios sem confiar em aplicativos de calculadora opacos que escondem a soma de divisores.

Desenvolvedores usam o mesmo contrato para validar dados de amostra para bibliotecas de teoria dos números, para condicionar testes de propriedades sobre geradores de inteiros aleatórios, ou para verificar previamente que uma semente está na classe abundante antes de um passo de simulação. A prática de concursos costuma precisar de uma fonte rápida e offline de respostas de abundância, para que soluções possam ser verificadas sem baixar tabelas do OEIS.

Combine-a com fatoração em primos quando precisar das potências primas por trás de um único inteiro, com um verificador de coprimos quando precisar de testes de mdc par a par, e com uma ferramenta de enésimo primo quando precisar de posições em vez de somas de divisores.