Verificador de Kaprekar

O verificador de número de Kaprekar responde a uma pergunta clássica de teoria dos números recreativa: para um inteiro positivo n, os dígitos decimais de n ao quadrado podem ser divididos em uma parte esquerda e uma parte direita que somam de volta ao próprio n? Informe n e a ferramenta retorna a string decimal exata do quadrado, as partes esquerda e direita vencedoras quando uma divisão válida existe, e um sinalizador booleano kaprekar que é true exatamente quando tal divisão é encontrada. Exemplos famosos incluem quarenta e cinco (quarenta e cinco ao quadrado é dois mil e vinte e cinco, e vinte mais vinte e cinco é igual a quarenta e cinco) e duzentos e noventa e sete (oitenta e oito mil duzentos e nove se divide como oitenta e oito mais duzentos e nove). O mecanismo usa aritmética BigInt determinística e uma varredura exaustiva dos pontos de divisão, então o resultado é livre de desvio de ponto flutuante e idêntico a cada execução. Ele nunca chama a rede, nunca amostra aleatoriedade, e nunca depende do relógio.

O que é um número de Kaprekar e o que a resposta contém

Um inteiro positivo n é um número de Kaprekar quando a representação decimal de n ao quadrado pode ser dividida em duas partes contíguas — uma parte esquerda e uma parte direita — tais que esses dois inteiros somam exatamente n. A parte direita pode começar com zeros quando lida como uma string de dígitos, mas não pode ser inteiramente zero; essa regra rejeita corretamente números como cem, cujo quadrado é dez mil e só "funciona" se uma metade direita zero for permitida.

Por convenção consolidada, o número um é Kaprekar: um ao quadrado é um, lido como zero mais um. Nove é Kaprekar porque oitenta e um se divide como oito mais um. Quarenta e cinco e cinquenta e cinco são os exemplos de dois dígitos mais conhecidos; noventa e nove, duzentos e noventa e sete, e setecentos e três aparecem em toda lista padrão.

Dez é composto e positivo, mas não é Kaprekar: cem não pode ser dividido em partes direitas não nulas que somem dez. Este verificador retorna o n informado, a string exata do quadrado, left e right quando uma divisão válida existe (caso contrário, nulo), e kaprekar true se e somente se uma divisão válida foi encontrada. Inteiros positivos não Kaprekar são respostas bem-sucedidas válidas com kaprekar false; eles não são erros.

Se você só precisar do quadrado de um inteiro sem o teste de divisão de Kaprekar, eleve-o ao quadrado você mesmo; esta página responde à pergunta sobre número de Kaprekar com as duas partes da divisão vencedora quando existe uma.

Como as entradas são lidas e como a divisão do quadrado permanece exata

Sinais de mais à esquerda são permitidos para valores positivos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais e notação exponencial são rejeitados, para que uma célula ruim não vire um sinalizador errado. Inteiros negativos e zero são rejeitados porque este verificador define números de Kaprekar em inteiros positivos a partir de um. O mecanismo permanece dentro dos inteiros seguros do JavaScript para a entrada, o que é mais que suficiente para problemas de sala de aula, concursos de programação, e a maioria das verificações aplicadas em n moderadamente grandes.

O algoritmo então percorre cada índice de divisão de um até o último dígito exclusive: para cada índice, ele lê left como o prefixo inteiro e right como o sufixo inteiro, pula sufixos que são todos zeros, e aceita o primeiro par cuja soma é igual a n. Não há passo em ponto flutuante que pudesse arredondar uma quase-correspondência em uma falsa afirmação de Kaprekar.

Onde as verificações de Kaprekar se encaixam no estudo, em demonstrações de pesquisa e no código

Estudantes encontram números de Kaprekar ao explorar teoria dos números recreativa, propriedades baseadas em dígitos, e curiosidades nomeadas em homenagem a D. R. Kaprekar, junto com a constante de Kaprekar seis mil cento e setenta e quatro de sua rotina sobre rearranjos de quatro dígitos. Professores podem gerar gabaritos para planilhas de exercícios sem confiar em aplicativos de calculadora opacos que escondem o passo de elevar ao quadrado e dividir.

Desenvolvedores usam o mesmo contrato para validar dados de amostra para bibliotecas de teoria dos números, para condicionar testes de propriedades sobre geradores de inteiros aleatórios, ou para verificar previamente que uma semente está na classe Kaprekar antes de um passo de demonstração. A prática de concursos costuma precisar de uma fonte rápida e offline de respostas de Kaprekar, para que soluções possam ser verificadas sem baixar tabelas do OEIS.

Combine-a com um verificador de número de Smith quando precisar de somas de dígitos de fatores primos, com um verificador de número abundante quando precisar de classificação por soma de divisores, e com fatoração em primos quando precisar de potências primas em vez de divisões de quadrado.