Comprobador de números de Smith

El comprobador de números de Smith responde a una pregunta clásica de teoría de números recreativa: para un entero compuesto n, ¿la suma de los dígitos decimales de n es igual a la suma de los dígitos decimales de sus factores primos contados con multiplicidad? Proporcione un n compuesto y la herramienta devuelve la suma de dígitos de n, la suma de dígitos de la factorización prima, las potencias primas, y un indicador booleano smith que es true exactamente cuando esas dos sumas coinciden. Ejemplos famosos incluyen veintidós (dos más dos es igual a dos más uno más uno, de los factores dos y once) y veintisiete (dos más siete es igual a tres más tres más tres). El motor usa división de prueba determinista y recorridos exactos de dígitos enteros, así que el resultado está libre de deriva de punto flotante y es idéntico en cada ejecución. Nunca llama a la red, nunca muestrea aleatoriedad, y nunca depende del reloj.

Qué es un número de Smith y qué contiene la respuesta

Un número de Smith es un entero compuesto n tal que la suma de sus dígitos decimales es igual a la suma de los dígitos decimales de todos los factores primos de n, repitiendo cada primo según su exponente en la factorización. Los primos se excluyen por definición: la factorización de un primo es el primo mismo, así que las sumas de dígitos coincidirían trivialmente y la propiedad carecería de interés.

El número de Smith más pequeño es cuatro: la suma de dígitos cuatro es igual a dos más dos de la factorización dos al cuadrado. Veintidós es el ejemplo de dos dígitos más conocido: dos más dos es igual a dos más uno más uno, de dos por once. Veintisiete funciona porque dos más siete es igual a nueve, y tres al cubo aporta tres más tres más tres.

Seis es compuesto pero no es Smith: la suma de dígitos seis frente a dos más tres es igual a cinco. Los compuestos que no son Smith son respuestas exitosas válidas con smith en false; no son errores. Si solo necesita la factorización prima de un entero sin la comparación de Smith, use una herramienta de factorización dedicada; esta página responde a la pregunta del número de Smith con ambas sumas de dígitos.

Cómo se leen las entradas y cómo se mantienen exactas las sumas de dígitos

Se permiten signos más iniciales opcionales para valores positivos; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales y la notación exponencial se rechazan para que una celda mal escrita no se convierta en un indicador incorrecto. Los enteros negativos y los valores por debajo de dos se rechazan porque los números de Smith se definen sobre enteros compuestos positivos en este comprobador.

El motor se mantiene dentro de los enteros seguros de JavaScript, lo cual es más que suficiente para problemas de aula, concursos de programación y la mayoría de las comprobaciones aplicadas sobre n moderadamente grandes. Internamente, el número se factoriza por división de prueba: se eliminan los factores de dos, luego se recorren candidatos impares hasta la raíz cuadrada del cofactor restante, y se termina con cualquier primo restante mayor que uno.

Para cada potencia prima p elevado a e, la suma de dígitos de factores añade e veces la suma de dígitos decimales de p. La suma de dígitos de n mismo se calcula mediante divisiones repetidas entre diez. No hay ningún paso de punto flotante que pudiera redondear un casi-entero hacia una falsa afirmación de Smith.

Dónde encajan las comprobaciones de Smith en el estudio, las demostraciones de investigación y el código

Los estudiantes se encuentran con los números de Smith al explorar la teoría de números recreativa, las propiedades basadas en dígitos, y las curiosidades de números compuestos junto a los números perfectos, abundantes y de Harshad. Los docentes pueden generar claves de respuesta para hojas de trabajo sin confiar en apps de calculadora opacas que ocultan el paso de factorización.

Los desarrolladores usan el mismo contrato para validar datos de muestra de bibliotecas de teoría de números, para condicionar pruebas de propiedades sobre generadores de enteros aleatorios, o para comprobar de antemano que una semilla está en la clase de Smith antes de un paso de demostración. La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida y sin conexión de respuestas de Smith para que las soluciones puedan verificarse sin descargar tablas de OEIS.

Combínela con la factorización en primos cuando necesite solo las potencias primas, con un comprobador de números abundantes cuando necesite clasificación por suma de divisores, y con un comprobador de coprimalidad cuando necesite pruebas de mcd por pares en lugar de sumas de dígitos.