Comprobador de números extravagantes

Un número extravagante (también llamado número derrochador en teoría de números recreativa) es un natural n cuya escritura de la factorización prima usa estrictamente más dígitos decimales que la representación decimal de n. Solo se cuentan los dígitos de los primos y de los exponentes mayores que uno; se ignoran signos de multiplicación y circumflejos. Por ejemplo, cuatro se factoriza como dos al cuadrado: la factorización usa dos dígitos y cuatro usa uno, así que cuatro es extravagante. Seis se factoriza como dos por tres: dos dígitos frente a uno en seis, también extravagante. Diez se factoriza como dos por cinco: dos dígitos que coinciden con los de diez, así que diez es equidigital y no extravagante. Este comprobador acepta un entero n al menos dos, lo factoriza por división de prueba determinista, cuenta ambos totales de dígitos y devuelve un indicador booleano extravagant junto con la clasificación completa, los factores y una cadena compacta de factorización. El motor no llama a la red, no usa azar ni depende del reloj, de modo que el mismo n siempre da la misma respuesta.

Qué son los números extravagantes y qué contiene la respuesta

Los teóricos de números parten los enteros positivos en tres clases de eficiencia de dígitos comparando la longitud decimal de n con el total de dígitos que aparecen al escribir la factorización prima de n en la forma compacta habitual. Cuente cada dígito de cada factor primo. Cuando un primo aparece elevado a una potencia mayor que uno, cuente también cada dígito de ese exponente; el exponente uno se omite del producto escrito y por tanto aporta cero dígitos.

Símbolos como puntos de multiplicación y circumflejos no cuentan. Si el total de dígitos de la factorización supera la longitud de n, el número es extravagante (derrochador). Si los totales son iguales, es equidigital.

Si la factorización es más corta, es económico. Ejemplos clásicos de extravagantes: cuatro (dos al cuadrado: dos dígitos frente a uno), seis (dos por tres: dos frente a uno), ocho (dos a la tres: dos frente a uno), nueve (tres al cuadrado: dos frente a uno) y doce (dos al cuadrado por tres: tres frente a dos). Ejemplos equidigitales: todo primo (la factorización es el propio primo) y diez (dos por cinco: dos frente a dos).

Los económicos aparecen cuando n crece lo bastante para que un producto corto de potencias primas empaquete más magnitud que longitud de dígitos. Los enteros no extravagantes son respuestas correctas con extravagant false; no son errores. Si solo necesita las potencias primas de un entero sin la comparación de eficiencia de dígitos, use una herramienta de factorización prima dedicada; esta página responde la pregunta del número extravagante con ambos conteos de dígitos en paralelo.

Cómo se leen las entradas y cómo los conteos de dígitos se mantienen exactos

Se permiten signos más iniciales opcionales en valores positivos; se rechazan espacios embebidos, prefijos hexadecimales y notación exponencial para que una celda mala no se convierta en un indicador erróneo. Se rechazan enteros negativos y valores menores que dos porque la clasificación extravagante aquí se define sobre enteros a partir de dos, alineada con el dominio de la factorización prima. El motor permanece dentro de los enteros seguros de JavaScript, más que suficiente para problemas de aula, concursos de programación y la mayoría de comprobaciones aplicadas sobre n moderadamente grandes.

Internamente el número se factoriza por división de prueba: se eliminan factores de dos, luego se recorren candidatos impares hasta la raíz cuadrada del cofactor restante, y se termina con cualquier primo sobrante mayor que uno. Los conteos de dígitos usan división repetida por diez sobre valores no negativos, de modo que no hay paso de coma flotante que pueda redondear un borde cercano a una afirmación extravagante falsa.

Para cada potencia prima p a la e el total de dígitos de la factorización suma la longitud decimal de p y, cuando e es mayor que uno, también la longitud decimal de e. La longitud de n es el mismo recorrido de dígitos aplicado a n.

Dónde encajan las comprobaciones extravagantes en estudio, demos e investigación y código

El alumnado encuentra números extravagantes, equidigitales y económicos al explorar teoría de números recreativa junto a números de Smith, perfectos y harshad. El profesorado puede generar claves de respuesta para hojas de trabajo sin confiar en calculadoras opacas que ocultan cómo entran los exponentes en el recuento de dígitos.

Quienes desarrollan usan el mismo contrato para validar datos de ejemplo de bibliotecas de teoría de números, acotar pruebas de propiedades en generadores de enteros aleatorios o precomprobar que una semilla pertenece a la clase extravagante antes de un paso de demostración. La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida sin conexión de respuestas extravagantes para contrastar soluciones sin descargar tablas OEIS de números derrochadores.

Combínelo con factorización prima cuando solo necesite las potencias primas, con un comprobador de números de Smith cuando necesite igualdad de sumas de dígitos en lugar de comparación de conteos, y con un comprobador de números abundantes cuando necesite clasificación por suma de divisores en lugar de longitud de factorización.