Comprobador de primos de Wilson
El 5 es un primo de Wilson: 4! + 1 = 25, que es divisible exactamente por 5², con resto 0. Escriba un primo y verá el resto exacto y si cumple esta condición tan escasa; solo se conocen el 5, el 13 y el 563. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Potencia (W)
- 5
- p al cuadrado
- 25
- Resto
- 0
- Criterio
- (p-1)! ≡ -1 (mod p^2)
El comprobador de primos de Wilson responde a una pregunta modular precisa de la teoría de números elemental: dado un primo p, ¿divide p al cuadrado el factorial de (p menos uno) más uno? De forma equivalente, ¿es (p−1)! congruente con −1 módulo p²? El teorema de Wilson ya garantiza que todo primo satisface la misma congruencia módulo p, de modo que la condición de primo de Wilson es un refuerzo genuino del módulo y no un nuevo test de primalidad. Proporcione un primo p y la herramienta devuelve p, p al cuadrado, el resto exacto de (p−1)! Los pequeños primos de Wilson clásicos son cinco y trece; quinientos sesenta y tres es el único otro primo de Wilson conocido y sigue dentro del intervalo admitido. El motor multiplica enteros sucesivos bajo un módulo BigInt, nunca muestrea aleatoriedad, nunca lee el reloj y nunca sale del proceso por una llamada de red.
Qué es un primo de Wilson y qué contiene la respuesta
Un primo de Wilson es un número primo p tal que p al cuadrado divide el factorial de (p menos uno) más uno. En lenguaje modular la misma afirmación se lee (p−1)! ≡ −1 (mod p²).
El teorema de Wilson dice que para todo primo p ya se tiene (p−1)! ≡ −1 (mod p), de modo que el factorial más uno siempre es divisible por p; la condición de Wilson pregunta si esa divisibilidad se eleva desde el módulo p hasta el módulo p².
Los únicos primos de Wilson conocidos en la literatura son cinco, trece y quinientos sesenta y tres; búsquedas exhaustivas mucho más allá de un millón no han hallado más ejemplos, lo que convierte la lista de tres miembros en un ejemplo favorito de lo raros que pueden ser los levantamientos modulares. ≡ -1 (mod p^2). Si solo necesita primalidad ordinaria, use un comprobador de primos dedicado; esta página responde a la pregunta modular de Wilson con un resto explícito.
Cómo se leen las entradas y cómo el factorial modular permanece exacto
Se permiten signos más iniciales opcionales en valores positivos; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales y la notación exponencial se rechazan para que una celda errónea no se convierta en un indicador incorrecto. Internamente el motor primero demuestra la primalidad por división de prueba hasta la raíz cuadrada de p, lo cual es barato a esta escala y totalmente determinista.
Luego recorre el producto dos por tres por cuatro hasta p menos uno, reduciendo módulo p al cuadrado tras cada multiplicación con aritmética BigInt para que los valores intermedios nunca desborden una palabra de máquina fija ni deriven hacia el punto flotante. El resto final de ese producto más uno módulo p al cuadrado se convierte de nuevo a un número JavaScript seguro—p al cuadrado es como máximo un billón en el rango permitido—y se compara con cero.
Dónde encajan las comprobaciones de Wilson en el estudio, las demos y el código
Los estudiantes encuentran los primos de Wilson al estudiar el teorema de Wilson, la aritmética modular y especializaciones raras de primos junto a los primos de Sophie Germain, los safeprimes y los cocientes de Wilson. Los docentes pueden generar claves de respuesta para hojas de trabajo sin confiar en apps de calculadora opacas que ocultan el paso del producto modular o aceptan compuestos en silencio.
Los desarrolladores usan el mismo contrato para validar datos de muestra de bibliotecas de teoría de números, para condicionar pruebas de propiedades sobre generadores de primos aleatorios, o para comprobar de antemano que una semilla de demostración es uno de los tres primos de Wilson clásicos antes de una presentación en vivo. La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida y sin conexión de respuestas de Wilson para verificar soluciones sin descargar tablas de OEIS ni reimplementar la reducción modular factorial con BigInt bajo presión de tiempo.
Combínela con un comprobador de primos ordinario cuando solo necesite primalidad, con un comprobador de primos gemelos cuando necesite primos impares consecutivos, y con herramientas de exponenciación modular cuando necesite pow-mod general en lugar de un producto factorial específico de Wilson.
Qué puede hacer con ella
Clasificación de tareas y concursos
Decida si primos dados son primos de Wilson para hojas de trabajo y comprobaciones de concurso calculando ((p−1)!+1) mod p² sin factoriales a mano.
Enseñanza de levantamientos del teorema de Wilson
Muestre a los estudiantes cómo la congruencia de Wilson módulo p se refuerza a módulo p² mientras cambian p en vivo en el navegador sin costo.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta el comprobador de primos de Wilson?
Es gratuito en su navegador en esta página.
¿Qué ocurre si p no es primo?
Los primos de Wilson se definen solo para primos; los compuestos, el 1 y los no enteros se rechazan con un mensaje claro.
¿Cuáles primos son primos de Wilson?
Los únicos primos de Wilson conocidos son 5, 13 y 563. Esta herramienta recalcula el criterio modular para cualquier primo del rango en lugar de consultar una lista fija.
¿Es aleatorio el algoritmo?
No. Usa división de prueba determinista para la primalidad y multiplicaciones modulares BigInt exactas para (p−1)! mod p². El mismo p siempre produce el mismo resto y el mismo indicador.
¿En qué se diferencia de un comprobador de primos simple?
Un comprobador de primos solo decide la primalidad. Esta herramienta exige un primo e informa si p² divide (p−1)! +1, devolviendo el resto modular y un booleano de primo de Wilson.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/wilson-prime \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/wilson-prime", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": 5
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/wilson-prime",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/wilson-prime", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/wilson-prime", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"p": 5
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.wilson_prime",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
+1 módulo p², un indicador booleano wilson_prime que es true solo cuando ese resto es cero, y una cadena de criterio breve que documenta la congruencia.
Qué es un primo de Wilson y qué contiene la respuesta
Los compuestos se excluyen por definición: la propiedad solo se enuncia para primos, y este comprobador rechaza cualquier entrada no prima con invalid_input en lugar de devolver un falso negativo que confunda una clave de tarea. En una llamada exitosa la respuesta siempre incluye el primo p analizado, el entero p_squared, el resto no negativo de (p−1)! +1 módulo p_squared, el booleano wilson_prime igual a true exactamente cuando ese resto es cero, y la cadena de criterio (p-1)! Un primo que falla la congruencia sigue siendo un éxito válido con wilson_prime en false—siete y once son contraejemplos cotidianos—, de modo que la ausencia de la propiedad de Wilson nunca es un error. Los campos ausentes, los no enteros, las fracciones, la notación científica, los valores fuera del intervalo de dos a un millón y los enteros compuestos fallan con invalid_input y un mensaje claro. Ese contrato mantiene estables las pruebas doradas, hace segura la caché y evita un desacuerdo silencioso entre la definición de un libro de texto y una respuesta de API.
Cómo se leen las entradas y cómo el factorial modular permanece exacto
El campo preferido es p como entero JSON, pero se aceptan cadenas decimales y los alias prime, n o value para que formularios, hojas de cálculo y cadenas de consulta compartan un solo contrato. El dominio admitido es el intervalo entero cerrado de dos a un millón: lo bastante pequeño para que un producto modular lineal termine con rapidez en un Worker o pestaña del navegador, y lo bastante grande para cubrir todos los primos de Wilson conocidos más una franja amplia de ejemplos de aula y concurso.
Dónde encajan las comprobaciones de Wilson en el estudio, las demos y el código
En esta página el trabajo se ejecuta por completo en su navegador; a través de la API cada consulta exitosa cuesta $0.002, la validación fallida no se cobra y no se almacena nada tras devolver la respuesta. Esa división—exploración interactiva gratuita y una API de pago idéntica—coincide con el resto del catálogo de nivel A del KIT y le permite pasar de una demostración de aula a una canalización automatizada sin cambiar el resultado matemático.
Casos de integración
Fixtures deterministas de biblioteca
Afirme que 5, 13 y 563 son primos de Wilson y que primos cercanos no lo son, con restos reproducibles para pruebas unitarias y CI.