Extravagante Zahlen prüfen

Eine extravagante Zahl (in der Unterhaltungsmathematik auch verschwenderische Zahl genannt) ist eine natürliche Zahl n, deren Schreibweise der Primfaktorzerlegung streng mehr Dezimalziffern verwendet als die Dezimaldarstellung von n selbst. Gezählt werden nur die Ziffern der Primzahlen und der Exponenten größer als eins; Multiplikationszeichen und Caret-Zeichen werden ignoriert. Beispielsweise faktorisiert sich vier als zwei zum Quadrat: Die Zerlegung nutzt zwei Ziffern, vier selbst eine, also ist vier extravagant. Sechs faktorisiert sich als zwei mal drei: zwei Ziffern gegen eine bei sechs, ebenfalls extravagant. Zehn faktorisiert sich als zwei mal fünf: zwei Ziffern wie bei zehn, also ist zehn equidigital und nicht extravagant. Dieser Prüfer akzeptiert eine ganze Zahl n mindestens zwei, faktorisiert sie durch deterministische Probedivision, zählt beide Ziffernsummen und liefert ein boolesches Flag extravagant zusammen mit der vollständigen Klassifikation, den Faktoren und einer kompakten Faktorisierungszeichenkette. Die Engine ruft nie das Netz auf, nutzt nie Zufall und hängt nie von der Uhr ab, sodass dasselbe n stets dieselbe Antwort liefert.

Was extravagante Zahlen sind und was die Antwort enthält

Zahlentheoretiker teilen positive ganze Zahlen in drei Zifferneffizienz-Klassen ein, indem sie die Dezimalänge von n mit der Gesamtzahl der Ziffern vergleichen, die erscheinen, wenn die Primfaktorzerlegung von n in der üblichen kompakten Form geschrieben wird. Zählen Sie jede Ziffer jedes Primfaktors. Wenn eine Primzahl zu einer Potenz größer als eins erscheint, zählen Sie auch jede Ziffer dieses Exponenten; Exponent eins wird im geschriebenen Produkt weggelassen und trägt daher null Ziffern bei.

Symbole wie Multiplikationspunkte und Caret-Zeichen zählen nicht. Ist die Ziffernsumme der Zerlegung größer als die Ziffernlänge von n, ist die Zahl extravagant (verschwenderisch). Sind die Summen gleich, ist sie equidigital.

Ist die Zerlegung kürzer, ist sie ökonomisch. Klassische extravagante Beispiele: vier (zwei zum Quadrat: zwei Ziffern gegen eine), sechs (zwei mal drei: zwei gegen eine), acht (zwei hoch drei: zwei gegen eine), neun (drei zum Quadrat: zwei gegen eine) und zwölf (zwei zum Quadrat mal drei: drei gegen zwei). Equidigitale Beispiele: jede Primzahl (die Zerlegung ist die Primzahl selbst) und zehn (zwei mal fünf: zwei gegen zwei).

Ökonomische Beispiele treten auf, sobald Zahlen groß genug werden, dass ein kurzes Primpotenzprodukt mehr Magnitude als Ziffernlänge bündelt. Nicht-extravagante Ganzzahlen sind erfolgreiche Antworten mit extravagant false; sie sind keine Fehler. Wenn Sie nur die Primpotenzen einer Ganzzahl ohne den Zifferneffizienz-Vergleich brauchen, nutzen Sie ein eigenes Primfaktorisierungs-Werkzeug; diese Seite beantwortet die Frage zur extravaganten Zahl mit beiden Ziffernzählungen nebeneinander.

Wie Eingaben gelesen werden und wie Ziffernzählungen exakt bleiben

Optionale führende Pluszeichen sind für positive Werte erlaubt; eingebettete Leerzeichen, Hex-Präfixe und Exponentialnotation werden abgelehnt, damit eine schlechte Zelle nicht zum falschen Flag wird. Negative Ganzzahlen und Werte unter zwei werden abgelehnt, weil die extravagante Klassifikation hier auf Ganzzahlen ab zwei definiert ist, passend zum Bereich der Primfaktorisierung. Die Engine bleibt innerhalb sicherer JavaScript-Ganzzahlen, mehr als genug für Unterrichtsaufgaben, Programmierwettbewerbe und die meisten angewandten Prüfungen auf mäßig großen n.

Intern wird die Zahl durch Probedivision faktorisiert: Faktoren von zwei entfernen, dann ungerade Kandidaten bis zur Quadratwurzel des verbleibenden Kofaktors durchlaufen und mit jeder Restprimzahl größer als eins abschließen. Ziffernzählungen nutzen wiederholte Division durch zehn auf nichtnegativen Werten, sodass kein Gleitkommaschritt eine nahe Grenze zu einer falschen extravaganten Behauptung runden kann. Für jede Primpotenz p zur e addiert die Zerlegungs-Ziffernsumme die Dezimalänge von p und, wenn e größer als eins ist, auch die Dezimalänge von e.

Die Länge von n ist derselbe Ziffernweg, angewandt auf n.

Wo extravagante Prüfungen in Studium, Forschungsdemos und Code passen

Lernende begegnen extravaganten, equidigitalen und ökonomischen Zahlen beim Erkunden der Unterhaltungszahlentheorie neben Smith-Zahlen, vollkommenen und Harshad-Zahlen. Lehrkräfte können Antwortschlüssel für Arbeitsblätter erzeugen, ohne undurchsichtigen Taschenrechnern zu vertrauen, die verbergen, wie Exponenten in die Ziffernsumme eingehen. Entwickler nutzen denselben Vertrag, um Beispieldaten für zahlentheoretische Bibliotheken zu validieren, Property-Tests an Zufallsgeneratoren zu begrenzen oder vorzuprüfen, dass ein Seed in der extravaganten Klasse liegt, bevor ein Demonstrationsschritt folgt.

Wettbewerbspraxis braucht oft eine schnelle Offline-Quelle extravaganter Antworten, damit Lösungen geprüft werden können, ohne OEIS-Tabellen für verschwenderische Zahlen herunterzuladen. Kombinieren Sie es mit Primfaktorisierung, wenn Sie nur die Primpotenzen brauchen, mit einem Smith-Zahlen-Prüfer, wenn Sie Ziffernsummen-Gleichheit statt Ziffernanzahl-Vergleich brauchen, und mit einem abundanten-Zahlen-Prüfer, wenn Sie eine Klassifikation nach Teilersumme statt Faktorisierungslänge brauchen.