Prüfer Summe zweier Quadrate
65 ist eine Summe zweier Quadrate, nämlich 1² + 8², während 3 und 7 es nie sind. Geben Sie eine ganze Zahl ein und erhalten Sie Ja oder Nein, ein passendes Paar und die Primfaktoren nach Fermats Regel. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Eine nichtnegative ganze Zahl ist Summe zweier ganzzahliger Quadrate, wenn es ganze Zahlen a und b gibt, sodass n gleich a zum Quadrat plus b zum Quadrat ist. Null ist 0² + 0², fünf ist 1² + 2², dreizehn ist 2² + 3² und fünfundsechzig ist 1² + 8² (oder 4² + 7²); drei und sieben lassen sich so nicht schreiben. Fermats klassischer Satz entscheidet die Zugehörigkeit allein aus der Primfaktorzerlegung: n gelingt genau dann, wenn jede zu drei modulo vier kongruente Primzahl mit geradem Exponenten vorkommt. Die Arithmetik ist vollständig deterministisch — kein Netz, kein Zufall, keine Uhr —, sodass Hausaufgaben, Wettbewerbsorakel und Produktionspipelines stets übereinstimmen.
Was «Summe zweier Quadrate» bedeutet und wie Fermat entscheidet
Ganze Zahlen a und b bilden eine Darstellung von n, wenn a zum Quadrat plus b zum Quadrat gleich n ist. Vorzeichen und Reihenfolge ändern die zugrunde liegende Identität nicht: wenn (a, b) funktioniert, gelten auch (±a, ±b) und (±b, ±a); daher meldet dieser Prüfer ein nichtnegatives Paar mit a kleiner oder gleich b, sobald eine Darstellung existiert. Null und eins gelingen sofort (0²+0² und 0²+1²).
Zwei ist 1²+1²; jede zu eins modulo vier kongruente Primzahl ist selbst Summe zweier Quadrate; zu drei modulo vier kongruente Primzahlen sind es nie. Der vollständige Satz multipliziert diese Fakten: schreiben Sie n als Produkt von Primzahlpotenzen; hat irgendeine Primzahl p ≡ 3 (mod 4) ungeraden Exponenten, ist n blockiert und kann keine Summe zweier Quadrate sein; hat jede solche Primzahl geraden Exponenten (einschließlich des leeren Falls ohne solche Primzahl), kann n.
Gleichwertig darf nach Entfernen aller Quadratfaktoren sowie der Faktoren von zwei und von Primzahlen ≡ 1 mod 4 nichts der Form 4k+3 mit ungerader Potenz übrig bleiben.
Wo Prüfungen auf Summe zweier Quadrate sinnvoll sind
Studierende begegnen Summen zweier Quadrate beim Lernen modularer Arithmetik, quadratischer Reste und früher algebraischer Zahlentheorie: die Hindernisprimzahlen ≡ 3 mod 4 sind eine erste Brücke zwischen Faktorisierung und diophantischer Darstellung. Lehrkräfte können Antwortschlüssel für Arbeitsblätter erzeugen, die fragen, ob fünf, dreizehn, fünfundzwanzig oder fünfundsechzig Summe zweier Quadrate ist, und sie mit drei, sieben oder elf kontrastieren, ohne undurchsichtigen Taschenrechner-Apps zu vertrauen. Wettbewerbsübung und CTF-Write-ups brauchen oft ein schnelles Offline-Orakel für «kann n als a²+b² geschrieben werden?», damit Lösungen ohne fest einprogrammierte OEIS-Ausschnitte geprüft werden.
Bibliotheksautoren nutzen denselben Vertrag für Property-Tests von Faktorisierungshilfen und Normen gaußscher ganzer Zahlen. Halten Sie n im veröffentlichten Limit, damit Probedivision und optionale Darstellungssuche interaktiv bleiben; für kryptographisch große Ganzzahlen brauchen Sie Multipräzisions-Faktorisierung, nicht diese leichte Parse-Fähigkeit.
Anwendungsfälle
Zwei-Quadrate-Prüfungen in Wettbewerben und CTF
Prüfen Sie die Zugehörigkeit zur Summe zweier Quadrate rasch beim Lösen von Programmierwettbewerbs- oder Capture-the-Flag-Aufgaben ohne statische Tabellen darstellbarer Ganzzahlen.
Häufige Fragen
Wann ist n Summe zweier Quadrate?
Eine nichtnegative ganze Zahl n ist genau dann gleich a² + b² für ganze Zahlen a und b, wenn jede zu 3 modulo 4 kongruente Primzahl geraden Exponenten in der Primfaktorzerlegung von n hat. Null, eins, zwei, fünf, dreizehn und fünfundsechzig gelingen; drei und sieben scheitern.
Was passiert, wenn n negativ ist?
Der klassische Satz über Summen zweier Quadrate gilt für nichtnegative ganze Zahlen; negatives n liegt außerhalb des Definitionsbereichs und wird nicht berechnet.
Ist der Algorithmus zufällig?
Nein. Er nutzt deterministische Probedivisions-Faktorisierung, exakte Paritätsprüfungen bei Primzahlen ≡ 3 mod 4 und eine exakte Suche nach einer Darstellung a ≤ b bei Zugehörigkeit. Dasselbe n liefert stets dasselbe Flag und dieselben factors.
Ist 65 eine Summe zweier Quadrate?
Ja: 65 ist 1² + 8² und ebenso 4² + 7². Die Primfaktoren sind 5 und 13, beide lassen bei Division durch 4 den Rest 1, also blockiert nichts die Darstellung.
Warum lassen sich 3 und 7 nicht als Summe zweier Quadrate schreiben?
Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen, sind nie Summe zweier Quadrate. Kommt eine solche Primzahl in einer Zahl ungerade oft vor, ist die Darstellung ausgeschlossen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":65}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 65
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 65
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":65}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":65}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 65
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.sum_two_squares_check",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Diese Fähigkeit faktorisiert n, listet blockierende Primzahlen der Form 4k+3 mit ungerader Vielfachheit, liefert ein klares is_sum_of_two_squares-Flag und bei Ja eine nichtnegative Darstellung a ≤ b. Nutzen Sie sie kostenlos im Browser oder rufen Sie die API für $0.002 pro erfolgreicher Anfrage auf, wenn Skripte ein reproduzierbares Ja/Nein ohne Computeralgebrasystem brauchen.
Was «Summe zweier Quadrate» bedeutet und wie Fermat entscheidet
Dieses Werkzeug sampelt und approximiert nie: es faktorisiert n einmal per Probedivision, prüft jede Primzahlpotenz auf die 4k+3-Bedingung ungeraden Exponenten, füllt blocking_primes bei Nein und sucht erst dann ein konkretes Paar a²+b², wenn das Kriterium Ja sagt, sodass Lehrbuch-Zugehörigkeit und Boolesches Flag stets übereinstimmen.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Negatives n liegt ausdrücklich außerhalb des Definitionsbereichs: der klassische Satz gilt für nichtnegative ganze Zahlen, und die Fähigkeit meldet das mit einer klaren Nachricht statt eines erfundenen Erfolgs. Senden Sie einen JSON-Body mit dem einzigen Pflichtfeld n — eine ganze Zahl mindestens null und höchstens eine Billion (zehn hoch zwölf). Die Aliase number und value werden für dasselbe Feld akzeptiert, damit Formulare und Query-Strings einen Vertrag teilen. Bei Erfolg enthält die Antwort n wie akzeptiert, is_sum_of_two_squares als Boolean, factors als geordnete Liste von Objekten mit prime und exponent (leer für null und eins), blocking_primes als aufsteigende Liste der Primzahlen ≡ 3 mod 4 mit ungeradem Exponenten, criterion als kurze Neuformulierung von Fermats Regel und, wenn der Boolean wahr ist, ein representation-Objekt mit nichtnegativen ganzen Zahlen a und b, sodass a² + b² gleich n und a ≤ b. Fehlgeschlagene Validierung — fehlendes n, Nicht-Ganzzahl, Bruch, negativer Wert oder Wert über dem veröffentlichten Limit — liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist ein fester Betrag $0.002 pro erfolgreicher Anfrage (Einheit item mit marginalem Stückpreis null). Ganzzahlen, die das Kriterium verfehlen, liefern weiterhin eine erfolgreiche Antwort mit is_sum_of_two_squares false und nichtleerer blocking_primes-Liste; nur Definitionsverletzungen sind Fehler, was Korrekturskripte vereinfacht, wenn Schüler drei, sieben oder einundzwanzig einreichen.
Wo Prüfungen auf Summe zweier Quadrate sinnvoll sind
Auf dieser Seite läuft die Arbeit vollständig in Ihrem Browser; über die API kostet jede erfolgreiche Abfrage $0.002, fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet und nach der Antwort wird nichts gespeichert. Geschwister-Landings für die Summe der ersten n Quadrate oder glückliche Zahlen (Ziffernquadrat-Summen) bedienen andere Suchintentionen — diese Seite zielt auf alle, die speziell Fermats Zwei-Quadrate-Zugehörigkeitstest und ein klares is_sum_of_two_squares-Flag wollen.
Integrationsbeispiele
Hausaufgaben: lässt sich n als a² + b² schreiben?
Geben Sie Schülern eine ganze Zahl und prüfen Sie ihre manuelle Faktorisierung und Ja/Nein-Zugehörigkeit gegen eine deterministische API oder das kostenlose Browser-Ergebnis mit gelisteten blockierenden Primzahlen.
Fermats 4k+3-Kriterium unterrichten
Zeigen Sie, dass Primzahlen ≡ 1 mod 4 und Produkte wie 65 gelingen, während Primzahlen ≡ 3 mod 4 mit ungeradem Exponenten (3, 7, 11, 21) scheitern, mit factors und blocking_primes an der Tafel.
Technische Fragen
Liefert eine falsche Antwort trotzdem factors?
Ja. Nicht darstellbare Ganzzahlen gelingen mit is_sum_of_two_squares false, der vollständigen factors-Liste und blocking_primes, die jede Primzahl ≡ 3 mod 4 mit ungeradem Exponenten nennt. Nur Definitionsverletzungen sind Fehler.
Was kostet der Prüfer für Summe zweier Quadrate?
Das Browser-Tool ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Aufgaben werden nie berechnet.