Vérificateur somme de deux carrés
65 est une somme de deux carrés, 1² + 8², alors que 3 et 7 ne le sont jamais. Saisissez un entier pour obtenir un oui ou un non, une paire valable et les facteurs premiers qu'utilise la règle de Fermat. Gratuit dans votre navigateur.
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Un entier non négatif est une somme de deux carrés entiers lorsqu'il existe des entiers a et b tels que n égale a au carré plus b au carré. Zéro est 0² + 0², cinq est 1² + 2², treize est 2² + 3² et soixante-cinq est 1² + 8² (ou 4² + 7²) ; trois et sept ne peuvent pas s'écrire ainsi. Le théorème classique de Fermat tranche l'appartenance à partir de la seule factorisation première : n convient si et seulement si chaque premier congruent à trois modulo quatre apparaît avec un exposant pair. L'arithmétique est entièrement déterministe — pas de réseau, pas d'aléa, pas d'horloge — de sorte que devoirs, oracles de concours et pipelines de production s'accordent toujours.
Ce que signifie « somme de deux carrés » et comment Fermat tranche
Les entiers a et b forment une représentation de n lorsque a au carré plus b au carré égale n. Les signes et l'ordre ne changent pas l'identité sous-jacente : si (a, b) convient, (±a, ±b) et (±b, ±a) conviennent aussi, aussi ce vérificateur renvoie une paire non négative avec a inférieur ou égal à b lorsqu'une représentation existe. Zéro et un réussissent immédiatement (0²+0² et 0²+1²).
Deux est 1²+1² ; tout premier congruent à un modulo quatre est lui-même somme de deux carrés ; les premiers congruents à trois modulo quatre ne le sont jamais. Le théorème complet multiplie ces faits : écrivez n comme produit de puissances premières ; si un premier p ≡ 3 (mod 4) a un exposant impair, n est bloqué et ne peut pas être somme de deux carrés ; si chaque tel premier a un exposant pair (y compris le cas vide lorsqu'aucun n'apparaît), n le peut.
De façon équivalente, après suppression de tous les facteurs carrés et des facteurs de deux et des premiers ≡ 1 mod 4, rien de la forme 4k+3 ne peut rester à une puissance impaire.
Où s'insèrent les vérifications de somme de deux carrés
Les étudiants rencontrent les sommes de deux carrés en apprenant l'arithmétique modulaire, les résidus quadratiques et la théorie algébrique des nombres naissante : les premiers d'obstruction ≡ 3 mod 4 forment un premier pont entre factorisation et représentation diophantienne. Les enseignants peuvent générer des corrigés pour des fiches demandant si cinq, treize, vingt-cinq ou soixante-cinq est une somme de deux carrés, et les opposer à trois, sept ou onze sans se fier à des calculatrices opaques.
La pratique de concours et les write-ups CTF ont souvent besoin d'un oracle hors ligne rapide pour « n peut-il s'écrire a²+b² ? » afin de vérifier les solutions sans tranches OEIS codées en dur. Les auteurs de bibliothèques utilisent le même contrat pour des tests de propriétés d'aides à la factorisation et de normes d'entiers gaussiens.
Gardez n dans la limite publiée pour que la division d'essai et la recherche optionnelle de représentation restent interactives ; pour des entiers de taille cryptographique vous avez besoin d'une factorisation multiprécision, pas de cette capacité parse légère.
Cas d’usage
Vérifications deux carrés en concours et CTF
Vérifiez rapidement l'appartenance à une somme de deux carrés en résolvant des problèmes de programmation ou capture-the-flag sans tables statiques d'entiers représentables.
Questions fréquentes
Quand n est-il une somme de deux carrés ?
Un entier non négatif n égale a² + b² pour des entiers a et b si et seulement si chaque premier congruent à 3 modulo 4 a un exposant pair dans la factorisation première de n. Zéro, un, deux, cinq, treize et soixante-cinq réussissent ; trois et sept échouent.
Que se passe-t-il si n est négatif ?
Le théorème classique de somme de deux carrés est énoncé pour les entiers non négatifs ; un n négatif est hors domaine et n'est pas facturé.
Une réponse fausse renvoie-t-elle encore factors ?
Seules les violations de domaine sont des erreurs.
L'algorithme est-il aléatoire ?
Non. Il utilise une factorisation déterministe par division d'essai, des contrôles exacts de parité sur les premiers ≡ 3 mod 4, et une recherche exacte d'une représentation a ≤ b lorsque l'appartenance tient. Le même n produit toujours le même indicateur et les mêmes factors.
65 est-il une somme de deux carrés ?
Oui : 65 vaut 1² + 8², et aussi 4² + 7². Ses facteurs premiers sont 5 et 13, qui laissent tous deux un reste de 1 dans la division par 4 : rien ne bloque la représentation.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":65}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 65
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 65
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":65}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":65}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-two-squares-check", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 65
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.sum_two_squares_check",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Cette capacité factorise n, liste les premiers bloquants de la forme 4k+3 à multiplicité impaire, renvoie un indicateur is_sum_of_two_squares clair et, lorsque la réponse est oui, fournit une représentation non négative a ≤ b. Explorez gratuitement dans votre navigateur, ou appelez l'API à $0.002 par requête réussie lorsque des scripts ont besoin d'un verdict oui/non reproductible sans système d'algèbre formelle.
Ce que signifie « somme de deux carrés » et comment Fermat tranche
Cet outil n'échantillonne ni n'approxime jamais : il factorise n une fois par division d'essai, examine chaque puissance première pour la condition 4k+3 d'exposant impair, remplit blocking_primes lorsque la réponse est non, et ne cherche ensuite une paire concrète a²+b² que lorsque le critère dit oui, de sorte que l'appartenance du manuel et le booléen coïncident toujours.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs
Un n négatif est explicitement hors domaine : l'énoncé classique porte sur les entiers non négatifs, et la capacité le signale par un message clair plutôt qu'en inventant un succès faux. Envoyez un corps JSON avec un seul champ obligatoire n : un nombre entier au moins zéro et au plus un billion (dix à la puissance douze). Les alias number et value sont acceptés pour le même champ afin que formulaires et chaînes de requête réutilisent un seul contrat. En cas de succès la réponse inclut n accepté, is_sum_of_two_squares comme booléen, factors comme liste ordonnée d'objets avec prime et exponent (vide pour zéro et un), blocking_primes comme liste croissante des premiers ≡ 3 mod 4 à exposant impair, criterion comme reformulation courte de la règle de Fermat et, lorsque le booléen est vrai, un objet representation avec des entiers non négatifs a et b tels que a² + b² égale n et a ≤ b. Une validation échouée — n manquant, non entier, fraction, valeur négative ou au-dessus de la limite publiée — renvoie invalid_input et n'est jamais facturée. Le tarif est un forfait $0.002 par requête réussie (unité item avec prix unitaire marginal nul). Les entiers qui échouent au critère renvoient encore une réponse réussie avec is_sum_of_two_squares false et une liste blocking_primes non vide ; seules les violations de domaine sont des erreurs, ce qui simplifie les scripts de notation lorsque les élèves soumettent trois, sept ou vingt-et-un.
Où s'insèrent les vérifications de somme de deux carrés
Sur cette page le travail s'exécute entièrement dans votre navigateur ; via l'API chaque consultation réussie coûte $0.002, la validation échouée n'est pas facturée et rien n'est stocké après la réponse. Les landings sœurs pour la somme des n premiers carrés ou les nombres heureux (sommes de carrés de chiffres) répondent à d'autres intentions de recherche — cette page cible ceux qui veulent spécifiquement le test d'appartenance à deux carrés de Fermat et un indicateur is_sum_of_two_squares clair.
Cas d'intégration
Devoirs : n peut-il s'écrire a² + b² ?
Donnez aux élèves un entier et vérifiez leur factorisation manuelle et l'appartenance oui/non face à une API déterministe ou au résultat gratuit du navigateur avec les premiers bloquants listés.
Enseigner le critère 4k+3 de Fermat
Montrez que les premiers ≡ 1 mod 4 et des produits comme 65 réussissent tandis que les premiers ≡ 3 mod 4 à exposant impair (3, 7, 11, 21) échouent, avec factors et blocking_primes au tableau.
Questions techniques
Combien coûte le vérificateur de somme de deux carrés ?
L'outil navigateur est gratuit et s'exécute localement. Les appels API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par requête réussie ; les tâches en échec ne sont jamais facturées.