Pentagonalzahlen-Rechner
Die 5. Pentagonalzahl ist 35, nach n(3n − 1)/2. Geben Sie eine Stelle ein, um ihre Pentagonalzahl zu erhalten, oder eine beliebige ganze Zahl, um zu erfahren, ob und an welcher Stelle sie in der Folge vorkommt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 5
- Leistung (W)
- 35
Pentagonalzahlen sind die figurierte Folge, die Punkte in verschachtelten regelmäßigen Fünfecken zählt. Die geschlossene Formel ist einfach und exakt: die n-te Pentagonalzahl gleicht n mal drei-n-minus-eins, alles durch zwei. Diese Identität erzeugt die vertraute Liste 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51 und so weiter für nichtnegative Indizes. Dieser Rechner wertet P(n) für einen gewählten Index aus und prüft, ob eine beliebige nichtnegative Ganzzahl zur Folge gehört, mit der klassischen Diskriminantenbedingung statt einer langsamen Suche. Negative Indizes werden mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt, damit Aufrufer dieses Werkzeug nicht mit den verallgemeinerten Pentagonalzahlen der Partitionstheorie verwechseln.
Was Pentagonalzahlen sind und wie P(n) definiert wird
Eine Pentagonalzahl zählt die Punkte, die Sie zeichnen würden, wenn Sie aufeinanderfolgende regelmäßige Fünfecke bauen, die einen Scheitel teilen und jeweils um einen Ring wachsen. Die geometrische Geschichte ist dieselbe Familie wie Dreiecks- und Quadratzahlen: jede figurierte Folge hat ein einfaches Polynom, das den Ringindex in eine Punktzahl verwandelt. Für Fünfecke lautet das Polynom P(n)=n(3n−1)/2.
Setzt man kleine nichtnegative Ganzzahlen ein, erhält man die Standardtabelle: P(0)=0, P(1)=1, P(2)=5, P(3)=12, P(4)=22, P(5)=35, P(6)=51, P(7)=70, P(8)=92, P(9)=117, P(10)=145. Die Formel liefert für ganzzahliges n stets eine Ganzzahl, weil n oder 3n−1 gerade ist, sodass die Division durch zwei in Ganzzahlarithmetik exakt ist. Wettbewerbe, Aufgaben im Stil von Project Euler und Kurse der diskreten Mathematik nutzen diese Werte ständig: zum Beispiel hängt die bekannte Suche nach Zahlen, die zugleich Dreiecks- und Pentagonalzahlen sind, vom wiederholten Auswerten der Formel und vom Zugehörigkeitstest ohne riesige Listen ab.
Zu verstehen, dass P(n) eine Quadratik ist und keine Rekurrenz, die Sie iterieren müssen, ist der erste Schritt, die Folge in Code und auf Papier sicher zu nutzen.
Wie dieser Rechner P(n) berechnet und Zugehörigkeit prüft
Senden Sie mindestens eines von zwei Feldern. Das Ganzzahlfeld n fordert die n-te Pentagonalzahl unter der obigen geschlossenen Form an; die Engine prüft, dass n als endliche Ganzzahl, nichtnegativ und innerhalb der veröffentlichten Obergrenze vorliegt, und liefert dann p gleich n mal drei-n-minus-eins durch zwei zusammen mit der Formelzeichenkette zur Dokumentation. Zugehörigkeit schleift nicht von eins aufwärts.
Stattdessen nutzt sie die Umkehrung der Quadratik: value ist pentagonal genau dann, wenn eins plus die Quadratwurzel aus eins plus vierundzwanzig mal value, alles durch sechs, eine nichtnegative Ganzzahl ist. Die Implementierung prüft diese Diskriminante mit ganzzahliger Quadratwurzel, sodass Gleitkomma-Rundung nie fälschlich einen Kandidaten annimmt oder verwirft. Bei erfolgreichem Test liefert die Antwort auch den Index k mit P(k) gleich value.
Sie dürfen beide Felder in einer Anfrage senden; jeder Pfad ist unabhängig.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfung
Lernende und Bewertende bestätigen P(n) für einen gegebenen Index und prüfen, ob eine gelistete Ganzzahl wirklich pentagonal ist, ohne lokales Computeralgebrasystem.
Project Euler und Suchfilter
Skripte, die Zahlen suchen, die zugleich Dreiecks-, Quadrat- und Pentagonalzahlen sind, können ein deterministisches Zugehörigkeitsorakel aufrufen statt Folgen in jeder Sprache neu aufzubauen.
Formeln figurierter Zahlen unterrichten
Unterrichtsseiten, die P(n)=n(3n−1)/2 einführen, können die geschlossene Form neben der inversen Diskriminante zeigen, damit Lernende Geometrie mit Algebra verbinden.
Häufige Fragen
Wie prüfe ich, ob eine Zahl pentagonal ist?
Senden Sie das Feld value mit der Kandidaten-Ganzzahl.
Was geschieht, wenn n negativ ist?
Nur nichtnegative Indizes werden akzeptiert; negatives n wird abgelehnt und nicht berechnet.
Warum ist Zugehörigkeit keine lineare Suche?
Die Umkehrung von P(n) ist ein exakter quadratischer Test: (1+sqrt(1+24x))/6 muss eine nichtnegative Ganzzahl sein. Dieser Rechner prüft das mit Ganzzahlarithmetik in konstanter Zeit.
Welches sind die ersten Pentagonalzahlen?
Für die Stellen 0 bis 10 lautet die Folge 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 und 145. Jede Zahl zählt die Punkte ineinandergeschachtelter Fünfecke, die Ring um Ring wachsen.
Warum ist n(3n − 1)/2 immer eine ganze Zahl?
Weil entweder n oder 3n − 1 gerade ist, lässt sich das Produkt stets ohne Rest durch 2 teilen. Die Division geht also bei jeder gewählten Stelle glatt auf.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pentagonal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 10000000 |
max_value | 150000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie dieser Rechner P(n) berechnet und Zugehörigkeit prüft
Negatives n scheitert sofort mit invalid_input und wird nicht berechnet. Das Ganzzahlfeld value stellt eine andere Frage: liegt diese Zahl irgendwo in der pentagonalen Folge? Fehlen beider Felder, Nicht-Ganzzahlen und Werte über den veröffentlichten Grenzen scheitern mit invalid_input.
Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Lieferung
Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie ein sofortiges P(n) oder eine Ja-oder-Nein-Zugehörigkeitsprüfung wollen, während Sie figurierte Zahlen studieren, eine Wettbewerbsantwort prüfen oder den Diskriminantentest erklären, ohne ein Computeralgebrasystem zu installieren. Akzeptierte Indizes laufen von null bis zehn Millionen und Zugehörigkeitskandidaten bis einhundertfünfzig Billionen, sodass große Lehrdemos und Filter im Project-Euler-Maßstab ohne unbegrenztes Speicherwachstum machbar bleiben. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Arithmetikdienst und keine Zufälligkeit, daher ist die Fähigkeit sicher, in Continuous-Integration-Prüfungen und reproduzierbaren Lehrmaterialien zu verankern. Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, Hausaufgabenprüfer, Interview-Vorbereitungsplattform oder Bildungsseite stabiles JSON für viele Indizes und Kandidaten unter einem Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbares Element zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Die Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dasselbe n liefert stets dasselbe p, und dasselbe value liefert stets denselben is_pentagonal-Schalter und denselben Index. Verbinden Sie den Endpoint mit Zahlentheorie-Demos, Coding-Interview-Sandboxes, Tutorien der diskreten Mathematik oder Integer-Vorverarbeitungsschritten, wo Sie bereits exakte figurierte Arithmetik heuristischen Näherungen oder undurchsichtigen Taschenrechnern vorziehen, die Formel und Zugehörigkeitsbeweis nicht zeigen können.
Technische Fragen
Wie berechne ich die n-te Pentagonalzahl mit dieser API?
Senden Sie einen JSON-Körper mit dem nichtnegativen Ganzzahlfeld n an math.pentagonal_number. Die Antwort liefert p = n*(3*n-1)/2 und die Formelzeichenkette.
Ist der Pentagonalzahlen-Rechner kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; Validierungsfehler werden nicht berechnet.