Rechner für arithmetische Folgen
Beginnen Sie bei 2 und addieren Sie jeweils 3: Das fünfte Glied ist 14, und die ersten fünf Glieder ergeben zusammen 40. Geben Sie Anfangsglied, Differenz und Position ein und erhalten Sie dieses Glied samt laufender Summe. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 2
- D
- 3
- N
- 5
- Glied
- 14
- Summe
- 40
Eine arithmetische Folge (auch arithmetische Progression genannt) ist eine Liste von Zahlen, bei der jedes Glied nach dem ersten durch Addition einer festen gemeinsamen Differenz entsteht. Negative Anfangsglieder, negative Differenzen, Differenz null (konstante Folge) und gebrochene Schritte werden unterstützt, solange die Werte endlich bleiben. Indizes unter eins werden mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt, damit Hausaufgabenwerkzeuge und Skripte ein nulltes Glied unter dieser Konvention nicht stillschweigend als gültig behandeln.
Wie n-ter Term und Partialsumme definiert sind
Eine arithmetische Progression ist vollständig durch ihr Anfangsglied a und ihre Differenz d bestimmt. Die Folge lautet a, a plus d, a plus zwei d, a plus drei d und so weiter. Es gibt eine geschlossene Form, die das gliedweise Addieren vermeidet: S_n ist n durch zwei multipliziert mit der Größe zwei a plus (n minus eins) mal d, was algebraisch dasselbe ist wie n mal der Mittelwert aus erstem und letztem Glied.
Zur schnellen Prüfung nehmen Sie a gleich zwei, d gleich drei und n gleich fünf: die Glieder sind zwei, fünf, acht, elf, vierzehn; der fünfte Term ist vierzehn und die Summe ist vierzig. Eine weitere Prüfung mit abnehmender Folge: a gleich zehn, d gleich minus zwei, n gleich vier ergibt die Glieder zehn, acht, sechs, vier; der vierte Term ist vier und die Summe ist achtundzwanzig. Konstante Folgen sind erlaubt, wenn d null ist: jedes Glied ist gleich a und S_n ist n mal a.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Der Fehler für n unter eins besagt, dass der Termindex mindestens eins sein muss, damit Formular-Clients und Skripte die Eingabe ohne Raten korrigieren können. Bei Erfolg spiegelt die Antwort die normalisierten a, d und n wider und fügt term (den n-ten Term) sowie sum (die Partialsumme der ersten n Glieder) hinzu. Beispiel: a gleich zwei, d gleich drei, n gleich fünf liefert term vierzehn und sum vierzig.
Beispiel: a gleich fünf, d gleich null, n gleich drei liefert term fünf und sum fünfzehn. Beispiel: a gleich eins Komma fünf, d gleich null Komma fünf, n gleich vier liefert term drei und sum neun.
Wo arithmetische Folgen in der Praxis vorkommen
Daten- und Analytics-Demos nutzen manchmal gleichmäßig gestufte Leitern als synthetische Laststufen, Preisschritte oder Terminoffsets; den n-ten Wert und die kumulierte Summe in einem Aufruf zu berechnen hält diese Leitern ehrlich. Finanznahe Erzählungen über lineares Wachstum oder feste Abnahmen lassen sich leichter illustrieren, wenn term und sum zusammen zurückkommen statt einen zweiten Durchlauf zu erzwingen. Wenn Sie später geometrische Folgen, rekursive Folgenlöser oder die Interpolation eines fehlenden mittleren Glieds aus drei bekannten Werten brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten statt diese Landingpage für arithmetische Folgen zu überladen.
Anwendungsfälle
Gleichmäßig gestufte Leitern in Demos
Erzeugen Sie lineare Folgen für Lasttest-Stufen, Preisschritte oder Terminoffsets und erhalten Sie sowohl den gewählten Schritt als auch die kumulierte Gesamtsumme.
Häufige Fragen
Welche Formeln verwendet dieser Rechner für arithmetische Folgen?
Der n-te Term ist a + (n − 1)·d. Die Partialsumme der ersten n Glieder ist S_n = n/2 · (2a + (n − 1)·d). Die Indexierung ist 1-based.
Was passiert, wenn n unter 1 liegt?
Der Termindex n muss unter dieser Konvention mindestens 1 sein.
Sind gebrochene Anfangsglieder und Differenzen erlaubt?
Ja. a und d dürfen beliebige endliche Zahlen sein (einschließlich Dezimaler). n muss weiterhin eine ganze Zahl zwischen 1 und 1,000,000 sein.
Kann die Folge auch fallen statt steigen?
Ja, mit einer negativen Differenz. Beginnen Sie bei 10 und ziehen Sie jeweils 2 ab, ergibt sich 10, 8, 6 und 4: Das vierte Glied ist 4, die Summe dieser vier Glieder 28.
Was passiert bei einer Differenz von null?
Dann ist die Folge konstant: Jedes Glied entspricht dem Anfangsglied, und die Summe der ersten Glieder ist einfach deren Anzahl mal dem Anfangsglied. Auch dieser Fall wird ganz normal berechnet.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"d":3,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"d": 3,
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"d": 3,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"d":3,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"d":3,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 2,
"d": 3,
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.arithmetic_sequence",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
min_n | 1 |
max_n | 1000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Mit dem Anfangsglied a, der Differenz d und einem positiven ganzzahligen Index n liefert dieser Rechner den exakten n-ten Term und die Summe der ersten n Glieder anhand der geschlossenen Formeln der Algebra: a_n ist a plus (n minus eins) mal d, und S_n ist n durch zwei multipliziert mit der Größe zwei a plus (n minus eins) mal d. Das kostenlose Browser-Werkzeug und die kostenpflichtige API teilen eine reine Funktion, sodass Unterrichtsdemos und automatisierte Pipelines nie stillschweigend abweichen.
Wie n-ter Term und Partialsumme definiert sind
Bei einsbasierter Indexierung ist der n-te Term daher a_n gleich a plus (n minus eins) mal d. Diese eine Multiplikation ersetzt das Iterieren über n Schritte und ist die Formel, die Schüler in Lehrbüchern finden, wenn ein bestimmtes Glied ohne die ganze Liste verlangt wird. Die Partialsumme der ersten n Glieder, geschrieben S_n, ist die Summe a plus a_2 plus Auslassungspunkte plus a_n.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Geben Sie drei Felder an: a (Aliase first, a1, first_term) für das Anfangsglied, d (Aliase difference, common_difference) für die Differenz und n (Aliase number, index, term) für den einsbasierten Termindex. a und d dürfen beliebige endliche Zahlen sein, einschließlich Negativer und Dezimaler; n muss eine ganze Zahl von eins bis eine Million einschließlich sein. Fehlende Felder, nichtnumerische Werte, NaN, Infinity, nichtganzzahliges n und jedes n unter eins werden mit invalid_input abgelehnt und nicht berechnet. Der API-Preis ist die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Element; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Wo arithmetische Folgen in der Praxis vorkommen
Produktteams, die Bildungs-Apps bauen, brauchen einen deterministischen Endpoint, der der Unterrichtskonvention entspricht (das erste Glied ist Term eins, n kleiner als eins ist ungültig), damit die Oberfläche bei Grenzfällen nie von der API abweicht. Da diese Fähigkeit eine reine Parse-Engine ist, läuft sie vollständig im Browser für kostenlose interaktive Nutzung und auf dem Worker-Pfad für Automatisierung zu $0.002 pro erfolgreichem Element.
Integrationsbeispiele
Antwortschlüssel für Hausaufgaben und Wettbewerbe
Berechnen Sie den n-ten Term und die Summe der ersten n Glieder für Algebra-Aufgaben, Olympiad-Fixtures und automatisierte Bewertung mit einem einzigen deterministischen Aufruf.
Vermittlung geschlossener Formeln
Zeigen Sie Schülern, dass a_n und S_n den Lehrbuchidentitäten für positive, negative und null Differenzen entsprechen, ohne iterative Additionsfehler.
Technische Fragen
Kann die Differenz negativ oder null sein?
Ja. Negatives d erzeugt eine abnehmende Folge; d = 0 ist eine konstante Folge, in der jedes Glied gleich a ist und S_n = n·a.
Was kostet es?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.