Calculadora de progressão aritmética
Comece em 2 e some 3 a cada passo: o quinto termo é 14 e os cinco primeiros somam 40. Informe o primeiro termo, a razão e uma posição, e receba esse termo e a soma acumulada de uma vez. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 2
- D
- 3
- N
- 5
- Termo
- 14
- Soma
- 40
Uma progressão aritmética é uma lista de números em que cada termo após o primeiro se forma somando uma razão comum fixa. Primeiros termos negativos, razões negativas, razão zero (sequência constante) e passos fracionários são suportados desde que os valores sejam finitos. Índices abaixo de um são rejeitados com erro de validação claro, para que ferramentas escolares e scripts não tratem em silêncio um termo zero como válido nesta convenção.
Como o n-ésimo termo e a soma parcial são definidos
Uma progressão aritmética é completamente determinada pelo primeiro termo a e pela razão comum d. A sequência lê a, a mais d, a mais dois d, a mais três d, e assim por diante. Essa única multiplicação substitui iterar n passos e é a fórmula que os alunos encontram nos livros quando pedem um termo específico sem escrever a lista inteira.
Há uma forma fechada que evita somar termo a termo: S_n é n sobre dois multiplicado pela quantidade dois a mais (n menos um) vezes d, o que é algebricamente o mesmo que n vezes a média do primeiro e do último termo. Para uma verificação rápida, tome a igual a dois, d igual a três e n igual a cinco: os termos são dois, cinco, oito, onze, quatorze; o quinto termo é quatorze e a soma é quarenta.
Outra verificação com sequência decrescente: a igual a dez, d igual a menos dois, n igual a quatro produz termos dez, oito, seis, quatro; o quarto termo é quatro e a soma é vinte e oito. Sequências constantes são permitidas quando d é zero: cada termo é igual a a e S_n é n vezes a.
O que você envia e o que recebe de volta
O erro para n abaixo de um declara que o índice do termo deve ser pelo menos um, para que clientes de formulário e scripts corrijam a entrada sem adivinhar. Em caso de sucesso, a resposta ecoa a, d e n normalizados, e acrescenta term (o n-ésimo termo) e sum (a soma parcial dos primeiros n termos). Exemplo: a igual a dois, d igual a três, n igual a cinco retorna term quatorze e sum quarenta.
Exemplo: a igual a cinco, d igual a zero, n igual a três retorna term cinco e sum quinze. Exemplo: a igual a um ponto cinco, d igual a zero ponto cinco, n igual a quatro retorna term três e sum nove.
Onde as progressões aritméticas aparecem no trabalho real
Demos de dados e analytics às vezes usam escadas igualmente espaçadas como níveis de carga sintéticos, degraus de preço ou offsets de agenda; calcular o valor n-ésimo e a soma acumulada em uma chamada mantém essas escadas honestas. Narrativas financeiras sobre crescimento linear ou decrementos fixos são mais fáceis de ilustrar quando term e sum voltam juntos em vez de forçar uma segunda passagem.
Se mais tarde precisar de progressões geométricas, solucionadores de sequências recursivas ou interpolação de um termo do meio faltante a partir de três valores conhecidos, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página de progressão aritmética.
Casos de uso
Escadas igualmente espaçadas em demos
Gere sequências lineares para níveis de teste de carga, degraus de preço ou offsets de agenda e obtenha tanto o passo selecionado quanto o total acumulado.
Perguntas frequentes
Quais fórmulas esta calculadora de progressão aritmética usa?
O n-ésimo termo é a + (n − 1)·d. A soma parcial dos primeiros n termos é S_n = n/2 · (2a + (n − 1)·d). A indexação é 1-based.
O que acontece se n for menor que 1?
O índice do termo n deve ser pelo menos 1 nesta convenção.
Termos iniciais e razões fracionários são permitidos?
Sim. a e d podem ser quaisquer números finitos (incluindo decimais). n ainda deve ser um inteiro entre 1 e 1,000,000.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
A progressão pode diminuir em vez de crescer?
Sim, use uma razão negativa. Começando em 10 e subtraindo 2 a cada passo, você obtém 10, 8, 6 e 4: o quarto termo é 4 e a soma desses quatro termos é 28.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"d":3,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"d": 3,
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"d": 3,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"d":3,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"d":3,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetic-sequence", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 2,
"d": 3,
"n": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.arithmetic_sequence",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
min_n | 1 |
max_n | 1000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Dados o primeiro termo a, a razão comum d e um índice inteiro positivo n, esta calculadora devolve o n-ésimo termo exato e a soma dos primeiros n termos com as fórmulas fechadas do álgebra: a_n é a mais (n menos um) vezes d, e S_n é n sobre dois vezes a quantidade dois a mais (n menos um) vezes d. A ferramenta gratuita do navegador e a API paga compartilham uma única função pura, assim demos em sala e pipelines automatizados nunca divergem em silêncio.
Como o n-ésimo termo e a soma parcial são definidos
Com indexação baseada em um, o n-ésimo termo é portanto a_n igual a a mais (n menos um) vezes d. A soma parcial dos primeiros n termos, escrita S_n, é a soma a mais a_2 mais reticências mais a_n.
O que você envia e o que recebe de volta
Informe três campos: a (aliases first, a1, first_term) para o primeiro termo, d (aliases difference, common_difference) para a razão comum, e n (aliases number, index, term) para o índice do termo baseado em um. a e d podem ser quaisquer números finitos, incluindo negativos e decimais; n deve ser um inteiro de um até um milhão inclusive. Campos ausentes, valores não numéricos, NaN, Infinity, n não inteiro e qualquer n abaixo de um são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. O preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido; validação falha não consome saldo.
Onde as progressões aritméticas aparecem no trabalho real
Equipes de produto que constroem apps educacionais precisam de um endpoint determinístico que siga a convenção de sala (o primeiro termo é o termo um, n menor que um é inválido) para que a interface nunca discorde da API nos casos-limite. Como esta capacidade é um motor de parse puro, roda por completo no navegador para uso interativo gratuito e no caminho Worker para automação a US$ 0,002 por item bem-sucedido.
Casos de integração
Gabaritos de deveres e competições
Calcule o n-ésimo termo e a soma dos primeiros n termos para problemas de álgebra, fixtures de olimpíadas e correção automatizada com uma única chamada determinística.
Ensino de fórmulas fechadas
Mostre aos alunos que a_n e S_n batem com as identidades do livro para razões comuns positivas, negativas e zero, sem erros de adição iterativa.
Perguntas técnicas
A razão comum pode ser negativa ou zero?
Sim. d negativo produz uma sequência decrescente; d = 0 é uma sequência constante em que cada termo é igual a a e S_n = n·a.