Número piramidal quadrado
Obtenha o número piramidal quadrado de ordem n, as bolas de uma pirâmide de base quadrada: para n igual a 5 são 55, a soma dos cinco primeiros quadrados. Resultados inteiros exatos para qualquer n de 1 a dez milhões. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 5
- Valor
- 55
- Soma dos quadrados
- 55
Os números piramidais quadrados contam balas de canhão empilhadas em uma pirâmide de base quadrada, ou de forma equivalente a soma dos primeiros n quadrados positivos. A fórmula fechada é exata e elementar: multiplique n por n mais um por dois-n mais um, depois divida por seis. Essa identidade produz a sequência familiar 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140 para n começando em um. Esta calculadora avalia o n-ésimo termo para qualquer índice positivo aceito usando aritmética inteira, nunca um chute em ponto flutuante, de modo que os resultados permanecem bit-exatos para n grande. Valores de n abaixo de um são rejeitados com um erro de validação claro em vez de devolver zero ou uma soma vazia silenciosa.
O que são números piramidais quadrados e como P(n) é definido
Um número piramidal quadrado é a quantidade de bolas unitárias necessárias para construir uma pirâmide cuja base é um quadrado n por n e cujas camadas sucessivas são quadrados (n−1) por (n−1), até uma única bola no ápice. Algebricamente essa pilha é exatamente a soma dos primeiros n quadrados positivos: um ao quadrado mais dois ao quadrado mais três ao quadrado e assim por diante até n ao quadrado.
Expandir a soma com a fórmula clássica da soma de quadrados produz o polinômio compacto P(n) = n(n + 1)(2n + 1) / 6. Substituir inteiros positivos pequenos recupera a tabela padrão: P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 14, P(4) = 30, P(5) = 55, P(6) = 91, P(7) = 140, P(8) = 204, P(9) = 285, P(10) = 385.
A divisão por seis é sempre exata para n inteiro porque entre n, n + 1 e 2n + 1 sempre há um fator de dois e um fator de três. Competições, cursos de matemática discreta e problemas recreativos de teoria dos números usam esses valores o tempo todo: problemas de balas de canhão, tabelas de números figurados e identidades que relacionam números piramidais a coeficientes binomiais dependem de avaliar essa forma fechada em vez de percorrer quadrados à mão.
Entender que a sequência é um polinômio cúbico, não uma recorrência que você deve iterar a partir de um, é o primeiro passo para usá-la com confiança em código, no papel e em materiais didáticos.
Casos de uso
Verificação de lição de casa e competições
Alunos e avaliadores confirmam o n-ésimo número piramidal quadrado ou a soma dos primeiros n quadrados sem um sistema de álgebra computacional local.
Tabelas e demos de números figurados
Páginas de aula e demos interativas que introduzem pirâmides de balas de canhão podem mostrar P(n)=n(n+1)(2n+1)/6 ao lado de valores trabalhados para n pequeno.
Oráculos de scripts e CI
Checadores automatizados e sandboxes de entrevistas chamam uma forma fechada determinística em vez de reimplementar a fórmula da soma de quadrados em cada linguagem.
Perguntas frequentes
O número piramidal quadrado é o mesmo que a soma dos primeiros n quadrados?
Sim. Por definição P(n) vale 1² + 2² + … + n², e a forma fechada n(n+1)(2n+1)/6 é a avaliação padrão dessa soma.
O que acontece se n for menor que 1?
Só se aceitam inteiros positivos n ≥ 1; zero e negativos são rejeitados e não cobrados.
A calculadora de número piramidal quadrado é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Por que usar a forma fechada em vez de percorrer quadrados?
O polinômio é exato para n inteiro e roda em tempo constante após a validação. Esta calculadora o avalia com BigInt para índices grandes permanecerem precisos sem somar milhões de termos.
Quantas balas de canhão há numa pirâmide de 5 camadas?
São 55. Uma pirâmide com base de 5 por 5 tem uma bala no topo e, abaixo, camadas de 2 por 2, 3 por 3, 4 por 4 e 5 por 5, que juntas somam 55.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pyramidal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 10000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como esta calculadora calcula P(n) e valida a entrada
Não há laço sobre quadrados no caminho quente: a forma fechada é O(1) após a validação. Envie um corpo JSON com o campo inteiro obrigatório n. O motor valida que n está presente como inteiro finito, pelo menos um, e dentro do limite superior publicado de dez milhões, então devolve value igual a n vezes n-mais-um vezes dois-n-mais-um sobre seis, junto com a string de fórmula para documentação e um campo sum_of_squares que ecoa o mesmo resultado para quem pensa em termos da definição em vez do nome figurado ver ambas as etiquetas. Valores de n abaixo de um falham imediatamente com invalid_input e não são cobrados; o mesmo caminho de erro cobre n ausente, não inteiros, números não finitos e valores acima do máximo publicado. A aritmética usa BigInt para que produtos intermediários nunca percam bits de ordem baixa antes da divisão exata por seis, e quando o resultado final cabe no intervalo de inteiros JSON seguros é devolvido como número em vez de string decimal.
Uso prático, limites, preço e entrega
Use a ferramenta do navegador quando quiser um P(n) imediato ao estudar números figurados, conferir uma resposta de competição ou explicar a fórmula da soma de quadrados sem instalar um sistema de álgebra computacional. Índices aceitos vão de um a dez milhões, de modo que demos didáticas grandes e tabelas de escala Project-Euler permanecem viáveis sem crescimento de memória ilimitado. Não há modelo de linguagem, serviço aritmético externo nem aleatoriedade, então a capacidade é segura para fixar em checagens de integração contínua e materiais de aula reproduzíveis. Use a API quando um script, corretor de lição de casa, plataforma de preparação de entrevistas ou site educacional precisar de JSON estável para muitos índices sob um único contrato. Cada requisição bem-sucedida é um item faturável a US$ 0,002; validação falha não consome saldo. Resultados são totalmente determinísticos: o mesmo n sempre produz o mesmo value e o mesmo eco sum_of_squares. Conecte o endpoint a demos de teoria dos números, sandboxes de entrevistas de código, tutoriais de matemática discreta ou passos de pré-processamento inteiro onde você já prefere aritmética figurada exata a heurísticas aproximadas ou calculadoras opacas que não mostram a fórmula nem a definição como soma dos primeiros n quadrados.
Perguntas técnicas
Como calculo o n-ésimo número piramidal quadrado com esta API?
Envie um corpo JSON com o campo inteiro positivo n para math.pyramidal_number. A resposta devolve value = n*(n+1)*(2*n+1)/6, a string de fórmula e sum_of_squares (igual a value).