Numero piramidale quadrato
Ottenga il numero piramidale quadrato di indice n, le palle di una piramide a base quadrata: per n uguale a 5 sono 55, la somma dei primi cinque quadrati. Risultati interi esatti per qualsiasi n da 1 a dieci milioni. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 5
- Valore
- 55
- Somma dei quadrati
- 55
I numeri piramidali quadrati contano palle di cannone impilate in una piramide a base quadrata, o in modo equivalente la somma dei primi n quadrati positivi. La formula chiusa è esatta ed elementare: moltiplichi n per n più uno per due-n più uno, poi divida per sei. Quell'identità produce la sequenza familiare 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140 per n che parte da uno. Questo calcolatore valuta l'n-esimo termine per qualsiasi indice positivo accettato usando aritmetica intera, mai una congettura in virgola mobile, così i risultati restano bit-esatti per n grande. I valori di n sotto uno sono rifiutati con un chiaro errore di validazione piuttosto che restituire zero o una somma vuota silenziosa.
Cosa sono i numeri piramidali quadrati e come è definito P(n)
Un numero piramidale quadrato è il numero di palle unitarie necessarie per costruire una piramide la cui base è un quadrato n per n e le cui strati successivi sono quadrati (n−1) per (n−1), fino a una sola palla all'apice. Algebricamente quella pila è esattamente la somma dei primi n quadrati positivi: uno al quadrato più due al quadrato più tre al quadrato e così via fino a n al quadrato.
Espandere la somma con la formula classica della somma dei quadrati produce il polinomio compatto P(n) = n(n + 1)(2n + 1) / 6. Sostituire piccoli interi positivi recupera la tabella standard: P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 14, P(4) = 30, P(5) = 55, P(6) = 91, P(7) = 140, P(8) = 204, P(9) = 285, P(10) = 385.
La divisione per sei è sempre esatta per n intero perché tra n, n + 1 e 2n + 1 c'è sempre un fattore due e un fattore tre. Gare, corsi di matematica discreta e problemi ricreativi di teoria dei numeri usano costantemente questi valori: problemi di palle di cannone, tabelle di numeri figurati e identità che legano numeri piramidali ai coefficienti binomiali dipendono dal valutare questa forma chiusa invece di scorrere i quadrati a mano.
Capire che la sequenza è un polinomio cubico, non una ricorrenza da iterare da uno, è il primo passo per usarla con fiducia in codice, su carta e nei materiali didattici.
Casi d'uso
Verifica di compiti e gare
Studenti e valutatori confermano l'n-esimo numero piramidale quadrato o la somma dei primi n quadrati senza un sistema di algebra computazionale locale.
Tabelle e demo di numeri figurati
Pagine di lezione e demo interattive che introducono piramidi di palle di cannone possono mostrare P(n)=n(n+1)(2n+1)/6 accanto a valori elaborati per n piccolo.
Oracoli di script e CI
Controllori automatici e sandbox di colloqui chiamano una forma chiusa deterministica invece di reimplementare la formula della somma dei quadrati in ogni linguaggio.
Domande frequenti
Il numero piramidale quadrato è la somma dei primi n quadrati?
Sì. Per definizione P(n) vale 1² + 2² + … + n², e la forma chiusa n(n+1)(2n+1)/6 è la valutazione standard di quella somma.
Cosa succede se n è sotto 1?
Si accettano solo interi positivi n ≥ 1; zero e negativi sono rifiutati e non addebitati.
Il calcolatore di numero piramidale quadrato è gratuito?
Lo strumento del browser gira gratis sul Suo dispositivo.
Perché usare la forma chiusa invece di scorrere i quadrati?
Il polinomio è esatto per n intero e gira in tempo costante dopo la validazione. Questo calcolatore lo valuta con BigInt così indici grandi restano precisi senza sommare milioni di termini.
Quante palle di cannone ci sono in una piramide di 5 strati?
Ce ne sono 55. Una piramide con base di 5 per 5 ha una palla in cima e sotto strati di 2 per 2, 3 per 3, 4 per 4 e 5 per 5, che insieme fanno 55.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
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}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pyramidal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_n | 10000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come questo calcolatore calcola P(n) e valida l'input
Non c'è ciclo sui quadrati sul percorso caldo: la forma chiusa è O(1) dopo la validazione. Invii un corpo JSON con il campo intero obbligatorio n. Il motore valida che n sia presente come intero finito, almeno uno, e entro il limite superiore pubblicato di dieci milioni, poi restituisce value uguale a n volte n-più-uno volte due-n-più-uno su sei, insieme alla stringa di formula per documentazione e un campo sum_of_squares che ecoa lo stesso risultato così chi pensa in termini di definizione invece del nome figurato vede entrambe le etichette. I valori di n sotto uno falliscono subito con invalid_input e non vengono addebitati; lo stesso percorso di errore copre n mancante, non interi, numeri non finiti e valori sopra il massimo pubblicato. L'aritmetica usa BigInt così i prodotti intermedi non perdono mai bit di basso ordine prima della divisione esatta per sei, e quando il risultato finale entra nell'intervallo degli interi JSON sicuri viene restituito come numero invece che come stringa decimale.
Uso pratico, limiti, prezzo e consegna
Usi lo strumento del browser quando desidera un P(n) immediato studiando numeri figurati, controllando una risposta di gara o spiegando la formula della somma dei quadrati senza installare un sistema di algebra computazionale. Gli indici accettati vanno da uno a dieci milioni, così grandi demo didattiche e tabelle di scala Project-Euler restano fattibili senza crescita di memoria illimitata. Non c'è modello linguistico, servizio aritmetico esterno né casualità, quindi la capacità è sicura da fissare in controlli di integrazione continua e materiali di lezione riproducibili. Usi l'API quando uno script, un correttore di compiti, una piattaforma di preparazione ai colloqui o un sito educativo ha bisogno di JSON stabile per molti indici sotto un unico contratto. Ogni richiesta riuscita è una voce fatturabile a $0.002; la validazione fallita non consuma saldo. I risultati sono pienamente deterministici: lo stesso n produce sempre lo stesso value e lo stesso eco sum_of_squares. Colleghi l'endpoint a demo di teoria dei numeri, sandbox di colloqui di codice, tutorial di matematica discreta o passi di pre-elaborazione intera dove preferisce già aritmetica figurata esatta a euristiche approssimate o calcolatori opachi che non possono mostrare la formula né la definizione come somma dei primi n quadrati.
Domande tecniche
Come calcolo l'n-esimo numero piramidale quadrato con questa API?
Invii un corpo JSON con il campo intero positivo n a math.pyramidal_number. La risposta restituisce value = n*(n+1)*(2*n+1)/6, la stringa di formula e sum_of_squares (uguale a value).