ForHosting KIT · 数学

平方角錐数

Q: 平方角錐数は先頭n個の平方の和と同じですか？

はい。 定義により P(n) は 1² + 2² + … + n² に等しく、閉じた形 n(n+1)(2n+1)/6 はその和の標準評価です。

n番目の平方角錐数、つまり正方形の底面に積み上げた球の数を求めます。nが5なら55で、最初の5つの平方数の和です。nは1から1000万まで、整数のまま正確に計算します。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

N: 5

結果

値: 55
平方の和: 55

平方角錐数は正方形の底面の角錐に積み上げた砲弾の個数を数え、等価には先頭 n 個の正の平方の和です。閉じた公式は厳密で初等的で、n に n+1 と 2n+1 を掛けて6で割ります。その恒等式は n を1から始めて 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140 のなじみ深い列を生みます。本計算機は受け付けた任意の正の添字について整数演算で第 n 項を評価し、浮動小数の推測は使わないため大きな n でも結果はビット厳密です。n が1未満の値はゼロや静かな空和を返すのではなく、明確な検証エラーで拒否します。

平方角錐数とは何か、P(n) の定義

平方角錐数は、底が n×n の正方形で、続く層が (n−1)×(n−1) の正方形、頂点は1個の球となる角錐を作るのに必要な単位球の個数です。代数的にはその積み上げは先頭 n 個の正の平方の和そのもので、1の2乗に2の2乗、3の2乗…nの2乗を足したものです。

平方和の古典公式で展開するとコンパクトな多項式 P(n) = n(n + 1)(2n + 1) / 6 になります。小さな正整数を代入すると標準表が再現されます：P(1)=1、P(2)=5、P(3)=14、P(4)=30、P(5)=55、P(6)=91、P(7)=140、P(8)=204、P(9)=285、P(10)=385。

整数 n では n、n+1、2n+1 の中に常に2の因子と3の因子があるため6による除算は常に厳密です。競技、離散数学の授業、レクリエーション数論の問題はこれらの値を絶えず使い、砲弾問題、図形数表、角錐数と二項係数を結ぶ恒等式は手で平方を回すのではなくこの閉じた形の評価に依存します。

列が1から反復する漸化式ではなく3次多項式だと理解することが、コード・紙・教材で自信を持って使う第一歩です。

活用例

宿題と競技の検証

学習者と採点者が第 n 平方角錐数または先頭 n 個の平方の和を、ローカルの計算機代数系なしで確認できます。

図形数の表とデモ

砲弾角錐を導入する教材ページや対話デモで、小さな n の計算値の横に P(n)=n(n+1)(2n+1)/6 を示せます。

スクリプトと CI のオラクル

自動チェッカーと面接サンドボックスは、各言語で平方和公式を再実装せず決定的な閉じた形を呼び出します。

よくある質問

平方角錐数は先頭n個の平方の和と同じですか？

はい。定義により P(n) は 1² + 2² + … + n² に等しく、閉じた形 n(n+1)(2n+1)/6 はその和の標準評価です。

nが1未満の場合はどうなりますか？

受け入れられるのは正の整数 n ≥ 1 のみで、0と負は拒否され課金されません。

なぜ平方を回さず閉じた形を使うのですか？

多項式は整数 n で厳密で、検証後は定数時間です。本計算機は BigInt で評価し、数百万項を足さずに大きな添字も精密に保ちます。

5段の四角錐に砲弾はいくつ積めますか？

55個です。底面が5×5の四角錐では、頂上に1個、その下に2×2、3×3、4×4、5×5の層が重なり、合計で55個になります。

6で割ると必ず割り切れるのはなぜですか？

n、n + 1、2n + 1の中には必ず2の倍数と3の倍数が含まれるからです。そのため3つの積は常に6で割り切れ、結果は整数になります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "n": 5
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.pyramidal_number",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

max_n 10000000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

本計算機が P(n) を計算し入力を検証する仕組み

同じエラー経路が n 欠落、非整数、非有限、公開最大超過を覆います。ホットパスに平方のループはなく、閉じた形は検証後 O(1) です。必須整数フィールド n を含む JSON 本体を送ってください。エンジンは n が有限整数として存在し、少なくとも1で、公開上界の1千万以内であることを検証し、value を n×(n+1)×(2n+1)/6 として返し、文書用の公式文字列と、図形名ではなく定義で考える呼び出し側が両ラベルを見られるよう同じ結果を響く sum_of_squares フィールドを付けます。n が1未満は直ちに invalid_input で失敗し課金されません。演算は BigInt を使い、中間積が厳密な6除算の前に下位ビットを失わず、最終結果が安全な JSON 整数範囲に収まるときは十進文字列ではなく数値として返します。

実務での利用、上限、料金、提供

図形数の学習、競技の答え合わせ、計算機代数系なしに平方和の公式を説明するときに即時の P(n) が欲しければブラウザツールをご利用ください。受け付ける添字は1から1千万で、メモリ無制限成長なしに大規模な授業デモや Project-Euler 規模の表が可能です。言語モデルも外部演算サービスも乱数もなく、継続的インテグレーション検査や再現可能な教材に固定しても安全です。スクリプト、宿題チェッカー、面接対策プラットフォーム、教育サイトが単一契約のもとで多くの添字の安定 JSON を必要とするときは API をご利用ください。成功した各リクエストは $0.002 の課金1件で、検証失敗は残高を消費しません。結果は完全に決定的で、同じ n は常に同じ value と同じ sum_of_squares の反響を返します。近似ヒューリスティックや公式・定義を示せない不透明な計算機より厳密な図形演算を好む数論デモ、コーディング面接サンドボックス、離散数学チュートリアル、整数前処理にエンドポイントを接続できます。

技術的な質問

このAPIで第n平方角錐数をどう計算しますか？

正の整数フィールド n を含む JSON 本体を math.pyramidal_number に送ってください。応答は value = n*(n+1)*(2*n+1)/6、公式文字列、sum_of_squares（value と同じ）を返します。

平方角錐数の計算機は無料ですか？

ブラウザツールはお使いの端末で無料です。API呼び出しは成功1件あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、検証失敗は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →