最初のn個の平方の和
最初のn個の平方の和を n(n + 1)(2n + 1)/6 で一度に求めます。1² + 2² + 3² + 4² + 5² は55で、nが0から1千万までなら必ず正確な整数になります。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 非負整数 n
- 5
- 値
- 55
- 和
- 55
最初のn個の平方の和は、代数と離散数学の学習者が早い段階で出会う古典的な閉形式のひとつです。1の二乗たす2の二乗たす3の二乗からnの二乗までは、nに(n+1)に(2n+1)を掛けて6で割った値と等しくなります。この恒等式により、乗算のループが整数nに対して常に厳密な三次多項式ひとつに置き換わります。本電卓は受理された非負の指数に対して決定的な整数演算で式を評価し、負のnは明確な検証エラーで拒否し、数値の和と式文字列の両方を返すため、宿題チェッカー、スクリプト、教材ページが単一の契約を信頼できます。
最初のn個の平方の和の公式
定義により、最初のn個の平方の和S(n)は1の二乗たす2の二乗たす3の二乗からnの二乗までです。標準の有限級数の恒等式で展開すると、コンパクトな閉形式S(n) = n(n+1)(2n+1)/6が得られます。
小さな非負整数を代入するとおなじみの表が得られます：空和のS(0)は0、S(1)は1、S(2)は5、S(3)は14、S(4)は30、S(5)は55、S(6)は91、S(7)は140、S(8)は204、S(9)は285、S(10)は385です。整数nに対して6による除算は常に割り切れます。
n、n+1、2n+1のうちに必ず2の因子と3の因子があるため、積は余りなく6で割れます。代数の授業では帰納法の導入に、離散数学では図形数や数え上げに、プログラミングコンテストではO(n)ループの代わりに定数時間で平方和が必要なときにこの恒等式を用います。
結果が1から反復する漸化式ではなくnの三次多項式であることを理解することが、コードでも紙でも、多項式が働く理由を説明する教材でも、公式を自信を持って使う第一歩です。
実務での使い方、上限、料金、提供形態
級数公式の学習中に平方和をすぐに欲しいとき、コンテストの答えを確認するとき、数式処理系を入れずにn(n+1)(2n+1)/6の恒等式を説明するときにはブラウザツールをご利用ください。検証失敗は残高を消費しません。受理指数は0から一千万までなので、空和の端ケース、大きな教材デモ、Project Euler規模の表が無制限のメモリ増加なしに実行可能です。
結果は完全に決定的で、同じnは常に同じsumとvalueのエコーを生みます。言語モデルも外部算術サービスも乱数もないため、継続的インテグレーションの検査や再現可能な教材に固定しても安全です。
活用例
宿題とコンテストの検証
生徒と採点者が、ローカルの数式処理系や手書きループなしに、与えられたnについて1²+2²+…+n²を確認します。
代数と級数の授業デモ
平方和の公式を紹介する教材ページは、小さなnについてn(n+1)(2n+1)/6を計算済みの値の横に示せます。
スクリプトとCIオラクル
自動チェッカーと面接サンドボックスが、各言語で平方和を再実装する代わりに決定的な閉形式を呼び出します。
よくある質問
1² + 2² + … + n²の公式は何ですか？
標準の閉形式はn(n+1)(2n+1)/6です。本電卓はその多項式を厳密な整数演算で評価します。
nが負の場合はどうなりますか？
負のnは許されず、非負整数のみが受理され、検証失敗は課金されません。
平方を回すループではなく閉形式を使う理由は？
多項式は整数nに対して厳密で、検証後は定数時間で走ります。本電卓はBigIntで評価するため、数百万項を足さなくても大きな指数が正確に保てます。
6で割る計算がいつも割り切れるのはなぜですか？
n、n + 1、2n + 1 の中には必ず2の倍数と3の倍数が含まれるため、その積は6で余りなく割り切れます。そのため、どんな整数nでも結果は整数になります。
1から10までの平方の和はいくつですか？
385です。公式にnとして10を入れると求まり、1から100までの10個の平方を1つずつ足しても、同じ合計になることを確かめられます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"n": 5
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_squares",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_n | 10000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
本電卓がnを検証し閉形式を評価する方法
同じエラー経路がnの欠落、非整数、非有限数、公開最大を超える値を扱います。ホットパス上で平方を回すループはなく、閉形式は検証後に定数時間です。必須の整数フィールドnを含むJSONボディを送ってください。エンジンはnが有限の整数として存在し、負でなく、公開上限の一千万以内であることを確認したうえで、sumをn×(n+1)×(2n+1)/6として返し、文書用の式文字列と、汎用名を好む呼び出し側のために同じ結果を示すvalueフィールドを添えます。負のnはただちにinvalid_inputで失敗し課金されません。演算はBigIntを用いるため、6での厳密除算の前に中間積が下位ビットを失わず、最終結果が安全なJSON整数範囲に収まる場合は十進文字列ではなく数値として返します。この同型は意図的です。 ティアAのparse能力は、ウェブ経路と有料経路が同一入力で決して乖離しないことを約束し、生徒が宿題の答えをAPIを叩く自動チェッカーと比較するときに重要になります。
実務での使い方、上限、料金、提供形態
スクリプト、宿題チェッカー、面接準備プラットフォーム、教育サイトが単一契約の下で多数の指数について安定したJSONを必要とするときはAPIをご利用ください。成功した各リクエストは$0.002の1課金項目です。すでに厳密な閉形式演算を近似ヒューリスティックや、式や「1の二乗たす2の二乗からnの二乗まで」の定義を示せない不透明な電卓より好む代数デモ、コーディング面接サンドボックス、離散数学チュートリアル、整数前処理のステップにエンドポイントを接続してください。
技術的な質問
このAPIで最初のn個の平方の和をどう計算しますか？
非負整数フィールドnを含むJSONボディをmath.sum_of_squaresに送ってください。応答はsum = n*(n+1)*(2*n+1)/6、式文字列、value（sumと同じ）を返します。
最初のn個の平方の和の電卓は無料ですか？
ブラウザツールはお使いの端末上で無料で動きます。API呼び出しは成功項目ごとに前払いKIT残高を$0.002で使用し、検証失敗は課金されません。