Somme des n premiers carrés
Additionnez les n premiers carrés en une étape avec n(n + 1)(2n + 1)/6 : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² font 55, et tout n de 0 à dix millions donne un entier exact. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Entier non négatif n
- 5
- Valeur
- 55
- Somme
- 55
La somme des n premiers carrés est l’une des formes fermées classiques que tout élève d’algèbre et de mathématiques discrètes rencontre tôt : un au carré plus deux au carré plus trois au carré et ainsi de suite jusqu’à n au carré égale n fois n plus un fois deux-n plus un, le tout divisé par six. Cette identité transforme une boucle de multiplications en un unique polynôme cubique toujours exact pour n entier. Cette calculatrice évalue la formule avec une arithmétique entière déterministe pour tout indice non négatif accepté, rejette n négatif avec une erreur de validation claire et renvoie la somme numérique ainsi que la chaîne de formule afin que correcteurs de devoirs, scripts et pages de leçon puissent faire confiance à un seul contrat.
La formule de la somme des n premiers carrés
Par définition, la somme des n premiers carrés est S(n) égale à un au carré plus deux au carré plus trois au carré jusqu’à n au carré. Développer cette somme avec l’identité standard des séries finies produit la forme fermée compacte S(n) égale n fois la quantité n plus un fois la quantité deux n plus un, puis divisée par six.
En substituant de petits entiers non négatifs, on retrouve le tableau familier : S(0) vaut zéro pour la somme vide, S(1) un, S(2) cinq, S(3) quatorze, S(4) trente, S(5) cinquante-cinq, S(6) quatre-vingt-onze, S(7) cent quarante, S(8) deux cent quatre, S(9) deux cent quatre-vingt-cinq et S(10) trois cent quatre-vingt-cinq.
La division par six est toujours exacte pour n entier car parmi n, n plus un et deux n plus un il y a toujours un facteur deux et un facteur trois, de sorte que le produit est divisible par six sans reste.
Les cours d’algèbre utilisent cette identité pour introduire les preuves par induction ; les cours de mathématiques discrètes pour les nombres figurés et le dénombrement ; et les concours de programmation dès qu’une solution a besoin d’une somme de carrés en temps constant au lieu d’une boucle O(n).
Comprendre que le résultat est un polynôme cubique en n, et non une récurrence à itérer depuis un, est le premier pas pour utiliser la formule avec confiance en code, sur papier et dans des supports pédagogiques qui expliquent pourquoi le polynôme fonctionne.
Usage pratique, limites, tarification et livraison
Utilisez l’outil du navigateur lorsque vous souhaitez une somme immédiate de carrés en étudiant les formules de séries, en vérifiant une réponse de concours ou en expliquant l’identité n(n+1)(2n+1)/6 sans installer un système de calcul formel. Les indices acceptés vont de zéro à dix millions, de sorte que les cas limites de somme vide, les grandes démos pédagogiques et les tables à l’échelle Project Euler restent faisables sans croissance mémoire illimitée.
Les résultats sont pleinement déterministes : le même n donne toujours la même somme et le même écho de value. Il n’y a ni modèle de langage, ni service arithmétique externe, ni aléa, donc la capacité est sûre à ancrer dans des contrôles d’intégration continue et des supports de leçon reproductibles.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et de concours
Élèves et correcteurs confirment 1²+2²+…+n² pour un n donné sans système de calcul formel local ni boucles écrites à la main.
Démos de leçons d’algèbre et de séries
Les pages de leçon qui introduisent la formule de la somme des carrés peuvent montrer n(n+1)(2n+1)/6 à côté de valeurs travaillées pour de petits n.
Scripts et oracles de CI
Les correcteurs automatiques et sandboxes d’entretien appellent une forme fermée déterministe au lieu de réimplémenter la somme des carrés dans chaque langage.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de 1² + 2² + … + n² ?
La forme fermée standard est n(n+1)(2n+1)/6. Cette calculatrice évalue ce polynôme avec une arithmétique entière exacte.
Pourquoi utiliser la forme fermée plutôt qu’une boucle sur les carrés ?
Le polynôme est exact pour n entier et s’exécute en temps constant après validation. Cette calculatrice l’évalue avec BigInt afin que les grands indices restent précis sans sommer des millions de termes.
Pourquoi la division par six tombe-t-elle toujours juste ?
Parmi n, n + 1 et 2n + 1, il y a toujours un multiple de 2 et toujours un multiple de 3 : leur produit se divise donc par 6 sans reste. Le résultat est entier pour tout n entier.
Que se passe-t-il si n est négatif ?
La valeur est refusée avec un message clair, car la somme des premiers carrés n'a de sens qu'à partir de zéro. En revanche, n égal à zéro est accepté et donne 0, la somme vide.
Combien vaut la somme des carrés de 1 à 10 ?
Elle vaut 385, le total que donne la formule avec n égal à 10. Vous pouvez le vérifier en additionnant les dix carrés un par un, de 1 jusqu'à 100.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_squares",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_n | 10000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comment cette calculatrice valide n et évalue la forme fermée
Il n’y a pas de boucle sur les carrés sur le chemin critique : la forme fermée est en temps constant après validation. Envoyez un corps JSON avec le champ entier obligatoire n. Le moteur vérifie que n est présent comme entier fini, non négatif et dans la borne supérieure publiée de dix millions, puis renvoie sum égal à n fois n-plus-un fois deux-n-plus-un sur six, avec la chaîne de formule pour la documentation et un champ value qui reprend le même résultat pour les appelants qui préfèrent un nom générique. n négatif échoue immédiatement avec invalid_input et n’est pas facturé ; le même chemin d’erreur couvre n manquant, non-entiers, nombres non finis et valeurs au-dessus du maximum publié. L’arithmétique utilise BigInt afin que les produits intermédiaires ne perdent pas les bits de bas ordre avant la division exacte par six, et lorsque le résultat final tient dans la plage d’entiers JSON sûre il est renvoyé comme nombre plutôt que comme chaîne décimale.
Usage pratique, limites, tarification et livraison
Utilisez l’API lorsqu’un script, un correcteur de devoirs, une plateforme de préparation aux entretiens ou un site éducatif a besoin de JSON stable pour de nombreux indices sous un seul contrat. Chaque requête réussie est un élément facturable à $0.002 ; une validation échouée ne consomme pas de solde. Branchez l’endpoint sur des démos d’algèbre, des sandboxes d’entretien de code, des tutoriels de mathématiques discrètes ou des étapes de prétraitement entier où vous préférez déjà une arithmétique exacte en forme fermée à des heuristiques approximatives ou des calculatrices opaques qui ne peuvent pas montrer la formule ni la définition comme un au carré plus deux au carré jusqu’à n au carré.
Questions techniques
Comment calculer la somme des n premiers carrés avec cette API ?
Envoyez un corps JSON avec le champ entier non négatif n vers math.sum_of_squares. La réponse renvoie sum = n*(n+1)*(2*n+1)/6, la chaîne de formule et value (identique à sum).
Que se passe-t-il si n est négatif ?
La requête échoue avec invalid_input. n négatif n’est pas autorisé ; seuls les entiers non négatifs sont acceptés et les échecs de validation ne sont pas facturés.
La calculatrice de la somme des n premiers carrés est-elle gratuite ?
L’outil navigateur s’exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par élément réussi ; les échecs de validation ne sont pas facturés.