ForHosting KIT · الرياضيات

مجموع أول n مربعات

اجمع أول n من المربعات في خطوة واحدة بالصيغة n(n + 1)(2n + 1)/6: مجموع 1² + 2² + 3² + 4² + 5² هو 55، وأي n من 0 حتى عشرة ملايين يعطي عددًا صحيحًا دقيقًا. مجاني في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

عدد صحيح غير سالب n: 5

تحصل على

القيمة: 55
المجموع: 55

مجموع أول n مربعات هو من الصيغ المغلقة الكلاسيكية التي يلتقي بها كل طالب في الجبر والرياضيات المتقطعة مبكراً: واحد تربيع زائد اثنان تربيع زائد ثلاثة تربيع وهكذا حتى n تربيع يساوي n في n زائد واحد في مرتين n زائد واحد، الكل مقسوم على ستة. تحوّل هذه الهوية حلقة ضربات إلى كثيرة حدود تكعيبية واحدة تكون دائماً دقيقة لـ n الصحيح. تقيّم هذه الآلة الحاسبة الصيغة بحساب صحيح حتمي لأي فهرس غير سالب مقبول، وترفض n السالب بخطأ تحقق واضح، وتعيد المجموع العددي وسلسلة الصيغة حتى يثق مصححو الواجبات والسكربتات وصفحات الدروس بعقد واحد.

صيغة مجموع أول n مربعات

بالتعريف، مجموع أول n مربعات هو S(n) يساوي واحداً تربيع زائد اثنين تربيع زائد ثلاثة تربيع حتى n تربيع. توسيع ذلك المجموع بهوية السلاسل المنتهية القياسية ينتج الصيغة المغلقة المدمجة S(n) يساوي n في الكمية n زائد واحد في الكمية مرتين n زائد واحد، ثم مقسوماً على ستة. وبتعويض أعداد صحيحة غير سالبة صغيرة تُستعاد الجدول المألوف: S(0) صفر للمجموع الفارغ، S(1) واحد، S(2) خمسة، S(3) أربعة عشر، S(4) ثلاثون، S(5) خمسة وخمسون، S(6) واحد وتسعون، S(7) مئة وأربعون، S(8) مئتان وأربعة، S(9) مئتان وخمسة وثمانون، وS(10) ثلاثمئة وخمسة وثمانون.

القسمة على ستة دائماً دقيقة لـ n الصحيح لأن بين n وn زائد واحد ومرتين n زائد واحد يوجد دائماً عامل اثنان وعامل ثلاثة، فالجداء قابل للقسمة على ستة بلا باقٍ. تستخدم مقررات الجبر هذه الهوية عند تقديم براهين الاستقراء، ومقررات الرياضيات المتقطعة للأعداد الشكلية وحجج العد، ومسابقات البرمجة كلما احتاج الحل إلى مجموع مربعات بزمن ثابت بدل حلقة O(n).

فهم أن النتيجة كثيرة حدود تكعيبية في n وليست علاقة تكرارية يجب تكرارها من واحد هو الخطوة الأولى لاستخدام الصيغة بثقة في الشفرة وعلى الورق وفي المواد التعليمية التي تشرح لماذا تعمل كثيرة الحدود.

الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم

استخدموا أداة المتصفح عندما تريدون مجموعاً فورياً للمربعات أثناء دراسة صيغ المتسلسلات أو التحقق من إجابة مسابقة أو شرح هوية n(n+1)(2n+1)/6 دون تثبيت نظام جبر حاسوبي. المؤشرات المقبولة من صفر إلى عشرة ملايين، فتبقى حالات حافة المجموع الفارغ والعروض التعليمية الكبيرة والجداول بمقياس Project Euler ممكنة دون نمو ذاكرة غير محدود. النتائج حتمية بالكامل: نفس n ينتج دائماً نفس المجموع ونفس صدى value.

لا يوجد نموذج لغوي ولا خدمة حساب خارجية ولا عشوائية، لذا تصلح القدرة للتثبيت في فحوصات التكامل المستمر ومواد الدرس القابلة لإعادة الإنتاج.

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والمسابقات

يؤكد الطلاب والمصححون 1²+2²+…+n² لـ n معطى دون نظام جبر محلي أو حلقات مكتوبة يدوياً.

عروض دروس الجبر والمتسلسلات

يمكن لصفحات الدرس التي تقدّم صيغة مجموع المربعات أن تعرض n(n+1)(2n+1)/6 بجانب قيم محلولة لـ n صغيرة.

سكربتات وأوراكل CI

تستدعي المصححات الآلية وصناديق رمل المقابلات صيغة مغلقة حتمية بدل إعادة تنفيذ مجموع المربعات في كل لغة.

الأسئلة الشائعة

ما صيغة 1² + 2² + … + n²؟

الصيغة المغلقة القياسية هي n(n+1)(2n+1)/6. تقيّم هذه الآلة تلك كثيرة الحدود بحساب صحيح دقيق.

ماذا يحدث إذا كان n سالباً؟

لا يُسمح بـ n السالب؛ تُقبل فقط الأعداد الصحيحة غير السالبة ولا تُحسب إخفاقات التحقق.

لماذا نستخدم الصيغة المغلقة بدل حلقة على المربعات؟

كثيرة الحدود دقيقة لـ n الصحيح وتجري بزمن ثابت بعد التحقق. تقيّمها هذه الآلة بـ BigInt فتبقى المؤشرات الكبيرة دقيقة دون جمع ملايين الحدود.

لماذا تكون القسمة على ستة دقيقة دائمًا؟

بين n وn + 1 و2n + 1 يوجد دائمًا مضاعف للعدد 2 ومضاعف للعدد 3، لذلك يقبل حاصل ضربها القسمة على 6 دون باقٍ. فيكون الناتج عددًا صحيحًا لكل n صحيح.

كم يساوي مجموع المربعات من 1 إلى 10؟

يساوي 385، وهو ما تعطيه الصيغة عندما يساوي n العدد 10. ويمكنك التحقق من النتيجة بجمع المربعات العشرة من 1 حتى 100 واحدًا تلو الآخر.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 5
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.sum_of_squares",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_n 10000000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تشترك أداة المتصفح المجانية وواجهة API مسبقة الدفع في الوحدة النقية نفسها، بلا نموذج لغوي، وبلا ذهاب وعودة شبكية على المسار الساخن، وبلا مفاجآت تقريب الفاصلة العائمة لأحجام الصف أو المسابقة المعتادة.

كيف تتحقق هذه الآلة من n وتقيّم الصيغة المغلقة

لا توجد حلقة على المربعات في المسار الساخن: الصيغة المغلقة زمن ثابت بعد التحقق. أرسلوا جسم JSON بالحقل الصحيح الإلزامي n. يتحقق المحرك من أن n موجود كعدد صحيح منتهٍ، وغير سالب، وضمن الحد الأعلى المنشور وهو عشرة ملايين، ثم يعيد sum مساوياً لـ n في n-زائد-واحد في مرتين-n-زائد-واحد على ستة مع سلسلة الصيغة للتوثيق وحقل value يكرر النتيجة نفسها لمن يفضل اسماً عاماً. n السالب يفشل فوراً بـ invalid_input ولا يُحسب؛ يغطي مسار الخطأ نفسه غياب n وغير الصحيحات والأعداد غير المنتهية والقيم فوق الحد الأقصى المنشور. يستخدم الحساب BigInt حتى لا تفقد الضروب الوسيطة البتات ذات الرتبة الدنيا قبل القسمة الدقيقة على ستة، وعندما يناسب الناتج النهائي نطاق الأعداد الصحيحة الآمن في JSON يُعاد كرقم لا كسلسلة عشرية. هذا التماثل مقصود: قدرات parse من المستوى A تعد بأن قناة الويب والقناة المدفوعة لا تختلفان أبداً على مدخل معيّن، وهو أمر يهم عندما يقارن الطلاب إجابة واجب بمصحح آلي يستدعي API.

الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم

استخدموا API عندما يحتاج سكربت أو مصحح واجبات أو منصة إعداد للمقابلات أو موقع تعليمي إلى JSON مستقر لمؤشرات كثيرة بعقد واحد. كل طلب ناجح عنصر قابل للفوترة بسعر $0.002؛ التحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد. اربطوا نقطة النهاية بعروض الجبر وصناديق رمل مقابلات البرمجة ودروس الرياضيات المتقطعة أو خطوات معالجة أولية صحيحة حيث تفضلون أصلاً حساباً دقيقاً بصيغة مغلقة على تقديرات تقريبية أو حاسبات معتمة لا تُظهر الصيغة ولا التعريف كواحد تربيع زائد اثنين تربيع حتى n تربيع.

أسئلة تقنية

كيف أحسب مجموع أول n مربعات بهذه الـ API؟

أرسلوا جسم JSON بالحقل الصحيح غير السالب n إلى math.sum_of_squares. تعيد الاستجابة sum = n*(n+1)*(2*n+1)/6 وسلسلة الصيغة وvalue (مثل sum).

هل حاسبة مجموع أول n مربعات مجانية؟

تعمل أداة المتصفح مجاناً على جهازكم. تستعمل استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ إخفاقات التحقق لا تُحسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

صيغة مجموع أول n مربعات

الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والمسابقات

عروض دروس الجبر والمتسلسلات

سكربتات وأوراكل CI

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

كيف تتحقق هذه الآلة من n وتقيّم الصيغة المغلقة

الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم

أسئلة تقنية

شكرًا