Somma dei primi n quadrati
Sommi i primi n quadrati in un passaggio con n(n + 1)(2n + 1)/6: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² fa 55, e qualsiasi n da 0 a dieci milioni dà un intero esatto. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Intero non negativo n
- 5
- Valore
- 55
- Somma
- 55
La somma dei primi n quadrati è una delle forme chiuse classiche che ogni studente di algebra e matematica discreta incontra presto: uno al quadrato più due al quadrato più tre al quadrato e così via fino a n al quadrato equivale a n per n più uno per due-n più uno, tutto diviso per sei. Quell’identità trasforma un ciclo di moltiplicazioni in un unico polinomio cubico sempre esatto per n intero. Questa calcolatrice valuta la formula con aritmetica intera deterministica per qualsiasi indice non negativo accettato, rifiuta n negativo con un errore di validazione chiaro e restituisce la somma numerica e la stringa della formula affinché correttori di compiti, script e pagine di lezione possano fidarsi di un unico contratto.
La formula della somma dei primi n quadrati
Per definizione la somma dei primi n quadrati è S(n) uguale a uno al quadrato più due al quadrato più tre al quadrato fino a n al quadrato. Espandere quella somma con l’identità standard delle serie finite produce la forma chiusa compatta S(n) uguale a n per la quantità n più uno per la quantità due n più uno, poi divisa per sei.
Sostituendo piccoli interi non negativi si recupera la tabella familiare: S(0) è zero per la somma vuota, S(1) uno, S(2) cinque, S(3) quattordici, S(4) trenta, S(5) cinquantacinque, S(6) novantuno, S(7) centoquaranta, S(8) duecentoquattro, S(9) duecentoottantacinque e S(10) trecentoottantacinque. La divisione per sei è sempre esatta per n intero perché tra n, n più uno e due n più uno c’è sempre un fattore due e un fattore tre, così il prodotto è divisibile per sei senza resto.
I corsi di algebra usano questa identità introducendo le dimostrazioni per induzione; i corsi di matematica discreta per i numeri figurati e gli argomenti di conteggio; e le gare di programmazione quando una soluzione richiede la somma dei quadrati in tempo costante invece di un ciclo O(n). Capire che il risultato è un polinomio cubico in n, non una ricorrenza da iterare da uno, è il primo passo per usare la formula con sicurezza in codice, su carta e nei materiali didattici che spiegano perché il polinomio funziona.
Uso pratico, limiti, prezzo e consegna
Usi lo strumento del browser quando desidera una somma immediata di quadrati studiando le formule di serie, controllando una risposta di gara o spiegando l’identità n(n+1)(2n+1)/6 senza installare un sistema di algebra computazionale. Gli indici accettati vanno da zero a dieci milioni, così casi limite di somma vuota, grandi demo didattiche e tabelle a scala Project Euler restano fattibili senza crescita illimitata di memoria. I risultati sono pienamente deterministici: lo stesso n produce sempre la stessa somma e lo stesso eco di value.
Non c’è modello di linguaggio, né servizio aritmetico esterno, né casualità, quindi la capacità è sicura da ancorare in controlli di integrazione continua e materiali di lezione riproducibili.
Casi d'uso
Verifica di compiti e gare
Studenti e correttori confermano 1²+2²+…+n² per un n dato senza un sistema di algebra locale né cicli scritti a mano.
Demo di lezioni di algebra e serie
Le pagine di lezione che presentano la formula della somma dei quadrati possono mostrare n(n+1)(2n+1)/6 accanto a valori svolti per n piccoli.
Script e oracoli di CI
Correttori automatici e sandbox di colloquio chiamano una forma chiusa deterministica invece di reimplementare la somma dei quadrati in ogni linguaggio.
Domande frequenti
Qual è la formula di 1² + 2² + … + n²?
La forma chiusa standard è n(n+1)(2n+1)/6. Questa calcolatrice valuta quel polinomio con aritmetica intera esatta.
La calcolatrice della somma dei primi n quadrati è gratuita?
Lo strumento del browser gira gratis sul Suo dispositivo.
Perché usare la forma chiusa invece di un ciclo sui quadrati?
Il polinomio è esatto per n intero e gira in tempo costante dopo la validazione. Questa calcolatrice lo valuta con BigInt così indici grandi restano precisi senza sommare milioni di termini.
Perché la divisione per sei è sempre esatta?
Tra n, n + 1 e 2n + 1 c'è sempre un multiplo di 2 e sempre un multiplo di 3, quindi il loro prodotto si divide per 6 senza resto. Il risultato è intero per ogni n intero.
Cosa succede se n è negativo?
Il valore viene rifiutato con un messaggio chiaro, perché la somma dei primi quadrati ha senso solo a partire da zero. Con n uguale a zero, invece, si ottiene 0, la somma vuota.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_squares",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_n | 10000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come questa calcolatrice valida n e valuta la forma chiusa
Non c’è un ciclo sui quadrati sul percorso caldo: la forma chiusa è a tempo costante dopo la validazione. Invii un corpo JSON con il campo intero obbligatorio n. Il motore verifica che n sia presente come intero finito, non sia negativo e resti entro il limite superiore pubblicato di dieci milioni; poi restituisce sum uguale a n per n-più-uno per due-n-più-uno su sei, insieme alla stringa della formula per la documentazione e un campo value che ripete lo stesso risultato per chi preferisce un nome generico. n negativo fallisce subito con invalid_input e non viene addebitato; lo stesso percorso di errore copre n assente, non interi, numeri non finiti e valori oltre il massimo pubblicato. L’aritmetica usa BigInt affinché i prodotti intermedi non perdano bit di basso ordine prima della divisione esatta per sei, e quando il risultato finale rientra nell’intervallo sicuro degli interi JSON viene restituito come numero e non come stringa decimale.
Uso pratico, limiti, prezzo e consegna
Usi l’API quando uno script, un correttore di compiti, una piattaforma di preparazione ai colloqui o un sito educativo necessita di JSON stabile per molti indici sotto un unico contratto. Ogni richiesta riuscita è un elemento fatturabile a $0.002; la validazione fallita non consuma saldo. Colleghi l’endpoint a demo di algebra, sandbox di colloqui di codice, tutorial di matematica discreta o passi di pre-elaborazione intera dove preferisce già aritmetica esatta in forma chiusa a euristiche approssimate o calcolatrici opache che non possono mostrare la formula né la definizione come uno al quadrato più due al quadrato fino a n al quadrato.
Domande tecniche
Come si calcola la somma dei primi n quadrati con questa API?
Invii un corpo JSON con il campo intero non negativo n a math.sum_of_squares. La risposta restituisce sum = n*(n+1)*(2*n+1)/6, la stringa della formula e value (uguale a sum).
Cosa succede se n è negativo?
La richiesta fallisce con invalid_input. n negativo non è consentito; sono accettati solo interi non negativi e i fallimenti di validazione non vengono addebitati.