Suma de n primeros cuadrados
Sume los n primeros cuadrados en un paso con n(n + 1)(2n + 1)/6: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² da 55, y cualquier n de 0 a diez millones da un entero exacto. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Entero no negativo n
- 5
- Valor
- 55
- Suma
- 55
La suma de los n primeros cuadrados es una de las formas cerradas clásicas que todo estudiante de álgebra y matemática discreta encuentra pronto: uno al cuadrado más dos al cuadrado más tres al cuadrado y así hasta n al cuadrado equivale a n por n más uno por dos-n más uno, todo dividido por seis. Esa identidad convierte un bucle de multiplicaciones en un único polinomio cúbico siempre exacto para n entero. Esta calculadora evalúa la fórmula con aritmética entera determinista para cualquier índice no negativo aceptado, rechaza n negativo con un error de validación claro y devuelve la suma numérica y la cadena de la fórmula para que correctores de tareas, scripts y páginas de lección confíen en un solo contrato.
La fórmula de la suma de los n primeros cuadrados
Por definición, la suma de los n primeros cuadrados es S(n) igual a uno al cuadrado más dos al cuadrado más tres al cuadrado y así hasta n al cuadrado. Expandir esa suma con la identidad estándar de series finitas produce la forma cerrada compacta S(n) igual a n por la cantidad n más uno por la cantidad dos n más uno, luego dividida por seis.
Al sustituir enteros no negativos pequeños se recupera la tabla familiar: S(0) es cero por la suma vacía, S(1) es uno, S(2) es cinco, S(3) es catorce, S(4) es treinta, S(5) es cincuenta y cinco, S(6) es noventa y uno, S(7) es ciento cuarenta, S(8) es doscientos cuatro, S(9) es doscientos ochenta y cinco y S(10) es trescientos ochenta y cinco.
La división por seis es siempre exacta para n entero porque entre n, n más uno y dos n más uno siempre hay un factor de dos y un factor de tres, de modo que el producto es divisible por seis sin resto. Los cursos de álgebra usan esta identidad al introducir pruebas por inducción; los de matemática discreta, para números figurados y argumentos de conteo; y los concursos de programación, cuando una solución necesita la suma de cuadrados en tiempo constante en lugar de un bucle O(n).
Entender que el resultado es un polinomio cúbico en n, y no una recurrencia que deba iterar desde uno, es el primer paso para usar la fórmula con confianza en código, en papel y en materiales didácticos que expliquen por qué funciona el polinomio.
Uso práctico, límites, precio y entrega
Use la herramienta del navegador cuando desee una suma inmediata de cuadrados al estudiar fórmulas de series, comprobar una respuesta de concurso o explicar la identidad n(n+1)(2n+1)/6 sin instalar un sistema de álgebra computacional. Los índices aceptados van de cero a diez millones, de modo que casos borde de suma vacía, demos didácticas grandes y tablas a escala Project Euler siguen siendo viables sin crecimiento ilimitado de memoria. Los resultados son plenamente deterministas: el mismo n siempre produce la misma suma y el mismo eco de value.
No hay modelo de lenguaje, ni servicio aritmético externo, ni aleatoriedad, así que la capacidad es segura para anclar en comprobaciones de integración continua y materiales de lección reproducibles.
Qué puede hacer con ella
Verificación de tareas y concursos
Estudiantes y evaluadores confirman 1²+2²+…+n² para un n dado sin un sistema de álgebra local ni bucles escritos a mano.
Demos de lecciones de álgebra y series
Las páginas de lección que presentan la fórmula de la suma de cuadrados pueden mostrar n(n+1)(2n+1)/6 junto a valores resueltos para n pequeños.
Scripts y oráculos de CI
Correctores automáticos y sandboxes de entrevista llaman a una forma cerrada determinista en lugar de reimplementar la suma de cuadrados en cada lenguaje.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de 1² + 2² + … + n²?
La forma cerrada estándar es n(n+1)(2n+1)/6. Esta calculadora evalúa ese polinomio con aritmética entera exacta.
¿Qué ocurre si n es negativo?
No se permite n negativo; solo se aceptan enteros no negativos y los fallos de validación no se cobran.
¿Es gratuita la calculadora de la suma de los n primeros cuadrados?
La herramienta del navegador se ejecuta gratis en su dispositivo.
¿Por qué usar la forma cerrada en lugar de un bucle sobre cuadrados?
El polinomio es exacto para n entero y se ejecuta en tiempo constante tras la validación. Esta calculadora lo evalúa con BigInt para que índices grandes sigan siendo precisos sin sumar millones de términos.
¿Por qué la división entre seis siempre es exacta?
Entre n, n + 1 y 2n + 1 siempre hay un múltiplo de 2 y siempre un múltiplo de 3, así que su producto se divide entre 6 sin resto. El resultado es entero para cualquier n entero.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 5
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_squares",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_n | 10000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo esta calculadora valida n y evalúa la forma cerrada
El motor comprueba que n esté presente como entero finito, no sea negativo y no supere el límite superior publicado de diez millones; entonces devuelve sum igual a n por n-más-uno por dos-n-más-uno partido por seis, junto con la cadena de la fórmula para documentación y un campo value que repite el mismo resultado para quienes prefieren un nombre genérico. No hay bucle sobre cuadrados en el camino caliente: la forma cerrada es tiempo constante tras la validación. Envíe un cuerpo JSON con el campo entero obligatorio n. Un n negativo falla de inmediato con invalid_input y no se cobra; la misma ruta de error cubre n ausente, no enteros, números no finitos y valores por encima del máximo publicado. La aritmética usa BigInt para que los productos intermedios no pierdan bits de bajo orden antes de la división exacta por seis, y cuando el resultado final cabe en el rango seguro de enteros JSON se devuelve como número y no como cadena decimal.
Uso práctico, límites, precio y entrega
Use la API cuando un script, corrector de tareas, plataforma de preparación de entrevistas o sitio educativo necesite JSON estable para muchos índices bajo un solo contrato. Cada petición exitosa es un ítem facturable a $0.002; la validación fallida no consume saldo. Conecte el endpoint a demos de álgebra, sandboxes de entrevistas de código, tutoriales de matemática discreta o pasos de preprocesado entero donde prefiera aritmética exacta de forma cerrada frente a heurísticas aproximadas o calculadoras opacas que no puedan mostrar la fórmula ni la definición como uno al cuadrado más dos al cuadrado hasta n al cuadrado.
Preguntas técnicas
¿Cómo calculo la suma de los n primeros cuadrados con esta API?
Envíe un cuerpo JSON con el campo entero no negativo n a math.sum_of_squares. La respuesta devuelve sum = n*(n+1)*(2*n+1)/6, la cadena de la fórmula y value (igual a sum).