Soma dos n primeiros quadrados
Some os n primeiros quadrados de uma vez com n(n + 1)(2n + 1)/6: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² dá 55, e qualquer n de 0 a dez milhões dá um inteiro exato. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Inteiro não negativo n
- 5
- Valor
- 55
- Soma
- 55
A soma dos n primeiros quadrados é uma das formas fechadas clássicas que todo estudante de álgebra e matemática discreta encontra cedo: um ao quadrado mais dois ao quadrado mais três ao quadrado e assim até n ao quadrado equivale a n vezes n mais um vezes dois-n mais um, tudo dividido por seis. Essa identidade transforma um laço de multiplicações em um único polinômio cúbico sempre exato para n inteiro. Esta calculadora avalia a fórmula com aritmética inteira determinística para qualquer índice não negativo aceito, rejeita n negativo com um erro de validação claro e devolve a soma numérica e a string da fórmula para que corretores de lição, scripts e páginas de aula confiem em um único contrato.
A fórmula da soma dos n primeiros quadrados
Por definição, a soma dos n primeiros quadrados é S(n) igual a um ao quadrado mais dois ao quadrado mais três ao quadrado continuando até n ao quadrado. Expandir essa soma com a identidade padrão de séries finitas produz a forma fechada compacta S(n) igual a n vezes a quantidade n mais um vezes a quantidade dois n mais um, depois dividida por seis.
Substituindo inteiros não negativos pequenos recupera-se a tabela familiar: S(0) é zero para a soma vazia, S(1) é um, S(2) é cinco, S(3) é quatorze, S(4) é trinta, S(5) é cinquenta e cinco, S(6) é noventa e um, S(7) é cento e quarenta, S(8) é duzentos e quatro, S(9) é duzentos e oitenta e cinco e S(10) é trezentos e oitenta e cinco.
A divisão por seis é sempre exata para n inteiro porque entre n, n mais um e dois n mais um sempre há um fator de dois e um fator de três, de modo que o produto é divisível por seis sem resto. Cursos de álgebra usam essa identidade ao introduzir provas por indução; cursos de matemática discreta, para números figurados e argumentos de contagem; e competições de programação, quando uma solução precisa da soma de quadrados em tempo constante em vez de um laço O(n).
Entender que o resultado é um polinômio cúbico em n, e não uma recorrência que se deve iterar a partir de um, é o primeiro passo para usar a fórmula com confiança em código, no papel e em materiais didáticos que expliquem por que o polinômio funciona.
Uso prático, limites, preço e entrega
Use a ferramenta do navegador quando quiser uma soma imediata de quadrados ao estudar fórmulas de séries, conferir uma resposta de competição ou explicar a identidade n(n+1)(2n+1)/6 sem instalar um sistema de álgebra computacional. Índices aceitos vão de zero a dez milhões, de modo que casos de borda de soma vazia, demos didáticas grandes e tabelas em escala Project Euler continuam viáveis sem crescimento ilimitado de memória. Os resultados são plenamente determinísticos: o mesmo n sempre produz a mesma soma e o mesmo eco de value.
Não há modelo de linguagem, nem serviço aritmético externo, nem aleatoriedade, assim a capacidade é segura para fixar em checagens de integração contínua e materiais de aula reproduzíveis.
Casos de uso
Verificação de lições e competições
Alunos e corretores confirmam 1²+2²+…+n² para um n dado sem um sistema de álgebra local nem laços escritos à mão.
Demos de aulas de álgebra e séries
Páginas de aula que apresentam a fórmula da soma de quadrados podem mostrar n(n+1)(2n+1)/6 ao lado de valores resolvidos para n pequenos.
Scripts e oráculos de CI
Corretores automáticos e sandboxes de entrevista chamam uma forma fechada determinística em vez de reimplementar a soma de quadrados em cada linguagem.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula de 1² + 2² + … + n²?
A forma fechada padrão é n(n+1)(2n+1)/6. Esta calculadora avalia esse polinômio com aritmética inteira exata.
A calculadora da soma dos n primeiros quadrados é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Por que usar a forma fechada em vez de um laço sobre quadrados?
O polinômio é exato para n inteiro e roda em tempo constante após a validação. Esta calculadora o avalia com BigInt para que índices grandes continuem precisos sem somar milhões de termos.
Por que a divisão por seis é sempre exata?
Entre n, n + 1 e 2n + 1 sempre existe um múltiplo de 2 e sempre um múltiplo de 3, então o produto se divide por 6 sem resto. O resultado é inteiro para qualquer n inteiro.
O que acontece se n for negativo?
O valor é recusado com uma mensagem clara, porque a soma dos primeiros quadrados só faz sentido a partir de zero. Já n igual a zero é aceito e dá 0, a soma vazia.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-squares", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_squares",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 10000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como esta calculadora valida n e avalia a forma fechada
Não há laço sobre quadrados no caminho quente: a forma fechada é tempo constante após a validação. Envie um corpo JSON com o campo inteiro obrigatório n. O motor verifica se n está presente como inteiro finito, não é negativo e permanece dentro do limite superior publicado de dez milhões; então devolve sum igual a n vezes n-mais-um vezes dois-n-mais-um sobre seis, junto com a string da fórmula para documentação e um campo value que ecoa o mesmo resultado para quem prefere um nome genérico. n negativo falha imediatamente com invalid_input e não é cobrado; o mesmo caminho de erro cobre n ausente, não inteiros, números não finitos e valores acima do máximo publicado. A aritmética usa BigInt para que produtos intermediários nunca percam bits de baixa ordem antes da divisão exata por seis, e quando o resultado final cabe no intervalo seguro de inteiros JSON ele é devolvido como número e não como string decimal.
Uso prático, limites, preço e entrega
Use a API quando um script, corretor de lição, plataforma de preparação para entrevistas ou site educacional precisar de JSON estável para muitos índices sob um único contrato. Cada requisição bem-sucedida é um item faturável a US$ 0,002; validação falha não consome saldo. Conecte o endpoint a demos de álgebra, sandboxes de entrevistas de código, tutoriais de matemática discreta ou passos de pré-processamento inteiro em que você já prefira aritmética exata de forma fechada a heurísticas aproximadas ou calculadoras opacas que não mostrem a fórmula nem a definição como um ao quadrado mais dois ao quadrado até n ao quadrado.
Perguntas técnicas
Como calculo a soma dos n primeiros quadrados com esta API?
Envie um corpo JSON com o campo inteiro não negativo n para math.sum_of_squares. A resposta devolve sum = n*(n+1)*(2*n+1)/6, a string da fórmula e value (igual a sum).
O que acontece se n for negativo?
A requisição falha com invalid_input. n negativo não é permitido; só se aceitam inteiros não negativos e falhas de validação não são cobradas.