Nombre pyramidal carré
Obtenez le nombre pyramidal carré de rang n, le nombre de boules d'une pyramide à base carrée : pour n égal à 5, il vaut 55, la somme des cinq premiers carrés. Des résultats entiers exacts pour tout n de 1 à dix millions. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 5
- Valeur
- 55
- Somme des carrés
- 55
Les nombres pyramidaux carrés comptent des boulets empilés en pyramide à base carrée, ou de façon équivalente la somme des n premiers carrés positifs. La formule fermée est exacte et élémentaire : multipliez n par n plus un par deux-n plus un, puis divisez par six. Cette identité produit la suite familière 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140 pour n commençant à un. Ce calculateur évalue le n-ième terme pour tout indice positif accepté en arithmétique entière, jamais une estimation en virgule flottante, de sorte que les résultats restent exacts bit à bit pour un grand n. Les valeurs de n inférieures à un sont rejetées avec une erreur de validation claire plutôt que de renvoyer zéro ou une somme vide silencieuse.
Ce que sont les nombres pyramidaux carrés et comment P(n) est défini
Un nombre pyramidal carré est le nombre de boules unitaires nécessaires pour construire une pyramide dont la base est un carré n par n et dont les couches successives sont des carrés (n−1) par (n−1), jusqu'à une seule boule au sommet. Algébriquement cette pile est exactement la somme des n premiers carrés positifs : un au carré plus deux au carré plus trois au carré et ainsi de suite jusqu'à n au carré.
Développer la somme avec la formule classique de la somme des carrés produit le polynôme compact P(n) = n(n + 1)(2n + 1) / 6. Substituer de petits entiers positifs retrouve la table standard : P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 14, P(4) = 30, P(5) = 55, P(6) = 91, P(7) = 140, P(8) = 204, P(9) = 285, P(10) = 385.
La division par six est toujours exacte pour n entier car parmi n, n + 1 et 2n + 1 il y a toujours un facteur deux et un facteur trois. Les concours, les cours de mathématiques discrètes et les problèmes récréatifs de théorie des nombres utilisent constamment ces valeurs : problèmes de boulets, tables de nombres figurés et identités reliant nombres pyramidaux aux coefficients binomiaux dépendent d'évaluer cette forme fermée plutôt que de parcourir les carrés à la main.
Comprendre que la suite est un polynôme cubique, non une récurrence à itérer depuis un, est le premier pas pour l'utiliser avec confiance en code, sur papier et dans les supports d'enseignement.
Usage pratique, limites, tarification et livraison
Utilisez l'outil du navigateur lorsque vous voulez un P(n) immédiat en étudiant les nombres figurés, en vérifiant une réponse de concours ou en expliquant la formule de la somme des carrés sans installer un système d'algèbre computationnelle. Les index acceptés vont de un à dix millions, de sorte que de grandes démos pédagogiques et des tables à l'échelle Project-Euler restent réalisables sans croissance mémoire illimitée.
Il n'y a pas de modèle de langage, de service arithmétique externe ni d'aléa, donc la capacité est sûre à figer dans des contrôles d'intégration continue et des supports de leçon reproductibles.
Branchez le point de terminaison dans des démos de théorie des nombres, des bacs à sable d'entretiens de code, des tutoriels de mathématiques discrètes ou des étapes de prétraitement entier où vous préférez déjà l'arithmétique figurée exacte aux heuristiques approximatives ou aux calculateurs opaques qui ne peuvent montrer ni la formule ni la définition comme somme des n premiers carrés.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et de concours
Étudiants et correcteurs confirment le n-ième nombre pyramidal carré ou la somme des n premiers carrés sans système d'algèbre computationnelle local.
Tables et démos de nombres figurés
Pages de leçon et démos interactives qui introduisent des pyramides de boulets peuvent afficher P(n)=n(n+1)(2n+1)/6 à côté de valeurs calculées pour petit n.
Oracles de scripts et d'intégration continue
Contrôleurs automatisés et bacs à sable d'entretiens appellent une forme fermée déterministe au lieu de réimplémenter la formule de la somme des carrés dans chaque langage.
Questions fréquentes
Le nombre pyramidal carré est-il la somme des n premiers carrés ?
Oui. Par définition P(n) vaut 1² + 2² + … + n², et la forme fermée n(n+1)(2n+1)/6 est l'évaluation standard de cette somme.
Que se passe-t-il si n est inférieur à 1 ?
Seuls les entiers positifs n ≥ 1 sont acceptés ; zéro et les négatifs sont rejetés et non facturés.
Le calculateur de nombre pyramidal carré est-il gratuit ?
L'outil du navigateur s'exécute gratuitement sur votre appareil.
Pourquoi utiliser la forme fermée plutôt qu'une boucle sur les carrés ?
Le polynôme est exact pour n entier et s'exécute en temps constant après validation. Ce calculateur l'évalue avec BigInt pour que de grands index restent précis sans sommer des millions de termes.
Combien de boulets compte une pyramide de 5 étages ?
Elle en compte 55. Une pyramide à base de 5 sur 5 porte un boulet au sommet puis des couches de 2 sur 2, 3 sur 3, 4 sur 4 et 5 sur 5, qui totalisent 55.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pyramidal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_n | 10000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comment ce calculateur calcule P(n) et valide l'entrée
Il n'y a pas de boucle sur les carrés sur le chemin chaud : la forme fermée est O(1) après validation. Envoyez un corps JSON avec le champ entier obligatoire n. Le moteur valide que n est présent comme entier fini, au moins un, et dans la borne supérieure publiée de dix millions, puis renvoie value égal à n fois n-plus-un fois deux-n-plus-un sur six, avec la chaîne de formule pour la documentation et un champ sum_of_squares qui répète le même résultat afin que les appelants qui pensent en termes de définition plutôt que de nom figuré voient les deux étiquettes. Les valeurs de n inférieures à un échouent immédiatement avec invalid_input et ne sont pas facturées ; le même chemin d'erreur couvre n manquant, non-entiers, nombres non finis et valeurs au-dessus du maximum publié. L'arithmétique utilise BigInt pour que les produits intermédiaires ne perdent jamais de bits de bas ordre avant la division exacte par six, et lorsque le résultat final tient dans la plage des entiers JSON sûrs il est renvoyé comme nombre plutôt que comme chaîne décimale.
Usage pratique, limites, tarification et livraison
Utilisez l'API lorsqu'un script, un correcteur de devoirs, une plateforme de préparation d'entretiens ou un site éducatif a besoin de JSON stable pour de nombreux index sous un seul contrat. Chaque requête réussie est un élément facturable à $0.002 ; la validation échouée ne consomme pas le solde. Les résultats sont entièrement déterministes : le même n produit toujours le même value et le même écho sum_of_squares.
Questions techniques
Comment calculer le n-ième nombre pyramidal carré avec cette API ?
Envoyez un corps JSON avec le champ entier positif n à math.pyramidal_number. La réponse renvoie value = n*(n+1)*(2*n+1)/6, la chaîne de formule et sum_of_squares (identique à value).