Quadratische Pyramidenzahl
Erhalten Sie die quadratische Pyramidenzahl zum Index n, die Zahl der Kugeln einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche: Für n gleich 5 sind es 55, die Summe der ersten fünf Quadratzahlen. Exakte ganze Zahlen für jedes n von 1 bis zehn Millionen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 5
- Wert
- 55
- Quadratsumme
- 55
Quadratische Pyramidenzahlen zählen Kanonenkugeln, die zu einer Pyramide mit quadratischer Basis gestapelt sind, oder gleichwertig die Summe der ersten n positiven Quadrate. Die geschlossene Formel ist exakt und elementar: multiplizieren Sie n mit n plus eins mit zwei-n plus eins und teilen Sie durch sechs. Diese Identität erzeugt die vertraute Folge 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140 für n ab eins. Dieser Rechner wertet das n-te Glied für jeden akzeptierten positiven Index mit Ganzzahlarithmetik aus, nie mit einer Gleitkomma-Schätzung, sodass Ergebnisse für großes n bit-exakt bleiben. Werte von n unter eins werden mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt statt null oder einer stillen leeren Summe zurückzugeben.
Was quadratische Pyramidenzahlen sind und wie P(n) definiert ist
Eine quadratische Pyramidenzahl ist die Anzahl der Einheitskugeln, die Sie brauchen, um eine Pyramide zu bauen, deren Basis ein n-mal-n-Quadrat ist und deren aufeinanderfolgende Schichten (n−1)-mal-(n−1)-Quadrate sind, bis zu einer einzelnen Kugel an der Spitze. Algebraisch ist dieser Stapel genau die Summe der ersten n positiven Quadrate: eins im Quadrat plus zwei im Quadrat plus drei im Quadrat und so weiter bis n im Quadrat. Die Summe mit der klassischen Formel für die Quadratsumme auszuweiten liefert das kompakte Polynom P(n) = n(n + 1)(2n + 1) / 6.
Einsetzen kleiner positiver ganzer Zahlen stellt die Standardtabelle wieder her: P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 14, P(4) = 30, P(5) = 55, P(6) = 91, P(7) = 140, P(8) = 204, P(9) = 285, P(10) = 385. Die Division durch sechs ist für ganzzahliges n stets exakt, weil unter n, n + 1 und 2n + 1 immer ein Faktor zwei und ein Faktor drei vorkommt.
Wettbewerbe, Kurse der diskreten Mathematik und freizeitliche zahlentheoretische Probleme nutzen diese Werte ständig: Kanonenkugel-Probleme, figurierte-Zahlen-Tabellen und Identitäten, die Pyramidenzahlen mit Binomialkoeffizienten verbinden, hängen davon ab, diese geschlossene Form auszuwerten statt Quadrate von Hand zu durchlaufen. Zu verstehen, dass die Folge ein kubisches Polynom ist, keine Rekursion, die man von eins iterieren muss, ist der erste Schritt, sie selbstsicher in Code, auf Papier und in Lehrmaterialien zu nutzen.
Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Lieferung
Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie ein sofortiges P(n) beim Studium figurierter Zahlen, beim Prüfen einer Wettbewerbsantwort oder beim Erklären der Quadratsummenformel ohne Computeralgebrasystem wünschen. Akzeptierte Indizes laufen von eins bis zehn Millionen, sodass große Lehrdemos und Tabellen im Project-Euler-Maßstab ohne unbegrenztes Speicherwachstum machbar bleiben. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Arithmetikdienst und keine Zufälligkeit, daher ist die Fähigkeit sicher für Continuous-Integration-Prüfungen und reproduzierbare Unterrichtsmaterialien.
Binden Sie den Endpunkt in Zahlentheorie-Demos, Coding-Interview-Sandkästen, Tutorials der diskreten Mathematik oder ganzzahlige Vorverarbeitungsschritte ein, wo Sie bereits exakte figurierte Arithmetik heuristischen Näherungen oder undurchsichtigen Rechnern vorziehen, die Formel und Definition als Summe der ersten n Quadrate nicht zeigen können.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfung
Lernende und Bewertende bestätigen die n-te quadratische Pyramidenzahl oder die Summe der ersten n Quadrate ohne lokales Computeralgebrasystem.
Figurierte-Zahlen-Tabellen und Demos
Unterrichtsseiten und interaktive Demos zu Kanonenkugel-Pyramiden können P(n)=n(n+1)(2n+1)/6 neben ausgearbeiteten Werten für kleines n zeigen.
Skript- und CI-Orakel
Automatisierte Prüfer und Interview-Sandkästen rufen eine deterministische geschlossene Form auf statt die Quadratsummenformel in jeder Sprache neu zu implementieren.
Häufige Fragen
Ist die quadratische Pyramidenzahl die Summe der ersten n Quadrate?
Ja. Per Definition gleicht P(n) 1² + 2² + … + n², und die geschlossene Form n(n+1)(2n+1)/6 ist die Standardauswertung dieser Summe.
Was geschieht, wenn n unter 1 liegt?
Nur positive ganze Zahlen n ≥ 1 werden akzeptiert; null und Negative werden abgelehnt und nicht berechnet.
Warum die geschlossene Form statt einer Schleife über Quadrate?
Das Polynom ist für ganzzahliges n exakt und läuft nach der Validierung in konstanter Zeit. Dieser Rechner wertet es mit BigInt aus, sodass große Indizes präzise bleiben ohne Millionen von Termen zu summieren.
Wie viele Kanonenkugeln liegen in einer Pyramide mit 5 Lagen?
Es sind 55. Eine Pyramide mit einer Grundfläche von 5 mal 5 hat eine Kugel an der Spitze und darunter Lagen von 2 mal 2, 3 mal 3, 4 mal 4 und 5 mal 5, zusammen 55.
Warum geht die Division durch sechs immer auf?
Weil unter n, n + 1 und 2n + 1 immer ein Vielfaches von zwei und ein Vielfaches von drei steckt. Ihr Produkt ist daher stets durch sechs teilbar, und das Ergebnis ist eine ganze Zahl.
Wie groß darf n bei der Pyramidenzahl sein?
Der Rechner nimmt jede ganze Zahl von 1 bis zehn Millionen an. Auch bei großen Werten bleibt das Ergebnis exakt, weil durchgehend mit ganzen Zahlen gerechnet und nichts gerundet wird. Werte unter 1 werden abgelehnt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pyramidal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pyramidal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 10000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie dieser Rechner P(n) berechnet und Eingaben prüft
Es gibt keine Schleife über Quadrate auf dem Hot Path: die geschlossene Form ist O(1) nach der Validierung. Senden Sie einen JSON-Körper mit dem erforderlichen ganzzahligen Feld n. Die Engine prüft, dass n als endliche ganze Zahl vorhanden ist, mindestens eins und innerhalb der veröffentlichten Obergrenze von zehn Millionen, und liefert dann value gleich n mal n-plus-eins mal zwei-n-plus-eins durch sechs, zusammen mit der Formelzeichenkette zur Dokumentation und einem sum_of_squares-Feld, das dasselbe Ergebnis wiederholt, damit Aufrufer, die in der Definition statt im figurierten Namen denken, beide Bezeichner sehen. Werte von n unter eins scheitern sofort mit invalid_input und werden nicht berechnet; derselbe Fehlerpfad deckt fehlendes n, Nichtganzzahlen, nicht-endliche Zahlen und Werte über dem veröffentlichten Maximum ab. Die Arithmetik nutzt BigInt, sodass Zwischenprodukte vor der exakten Division durch sechs keine niederwertigen Bits verlieren, und wenn das Endergebnis in den sicheren JSON-Integer-Bereich passt, wird es als Zahl statt als Dezimalzeichenkette zurückgegeben.
Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Lieferung
Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, Hausaufgabenprüfer, Interview-Vorbereitungsplattform oder Bildungsseite stabiles JSON für viele Indizes unter einem Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbarer Posten zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dasselbe n liefert stets denselben value und dasselbe sum_of_squares-Echo.
Technische Fragen
Wie berechne ich die n-te quadratische Pyramidenzahl mit dieser API?
Senden Sie einen JSON-Körper mit positivem Ganzzahlfeld n an math.pyramidal_number. Die Antwort liefert value = n*(n+1)*(2*n+1)/6, die Formelzeichenkette und sum_of_squares (gleich value).
Ist der Rechner für quadratische Pyramidenzahlen kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Posten; Validierungsfehler werden nicht berechnet.