Summe der ersten n Ungeraden
Addieren Sie die ersten n ungeraden Zahlen in einem Schritt, denn sie ergeben immer n zum Quadrat: Die ersten 10 ungeraden Zahlen ergeben 100, die ersten 100 ergeben 10.000. Exakt für jedes n bis zehn Millionen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 5
- Summe
- 25
- Letzte Ungerade
- 9
- Identität
- 1+3+...+(2n-1)=n^2
Die ersten n positiven ungeraden Zahlen bilden eine einfache Folge, die eine mächtige Identität verbirgt: eins plus drei plus fünf und so weiter bis zum n-ten ungeraden Term ergibt stets n im Quadrat. Für n gleich eins ist die Summe eins; für n gleich zwei vier; für n gleich drei neun; für n gleich fünf fünfundzwanzig. Dieser Rechner akzeptiert eine positive ganze Zahl n, prüft, dass sie mindestens eins ist, und liefert die Summe zusammen mit dem letzten ungeraden Term und der klassischen Formel, damit Schüler, Lehrkräfte und Entwickler Hausaufgaben prüfen, Demos bauen oder automatisierte Tests anbinden können, ohne den Beweis unter Zeitdruck neu abzuleiten. Werte von n unter eins werden mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt statt mit stiller Null oder unsinnigem Total.
Warum die ersten n Ungeraden n im Quadrat ergeben
Schreiben Sie die ersten n positiven ungeraden Zahlen als eins, drei, fünf und so weiter bis zwei n minus eins. In dieser Liste stehen genau n Terme, und jeder Term ist zwei mal sein nullbasierter Index plus eins. Handaddieren für kleine n legt bereits ein Muster nahe: eins ist eins im Quadrat; eins plus drei ist vier, also zwei im Quadrat; eins plus drei plus fünf ist neun, drei im Quadrat; und eins plus drei plus fünf plus sieben ist sechzehn, vier im Quadrat.
Ein kurzes Induktionsargument besiegelt die Identität für jede positive ganze n: ist die Summe der ersten k Ungeraden k im Quadrat, so ist die Summe der ersten k plus eins Ungeraden k im Quadrat plus die nächste ungerade Zahl zwei k plus eins, was zu k im Quadrat plus zwei k plus eins expandiert, genau die Entwicklung von offene Klammer k plus eins schließende Klammer im Quadrat.
Geometrische Bilder helfen ebenfalls: ein n-mal-n-Quadrat lässt sich durch geschachtelte L-förmige Ränder ungerader Länge bauen, wobei jeder Rand eine weitere ungerade Anzahl Einheitsquadrate beiträgt. Dieser Dienst beweist den Satz nicht bei jedem Aufruf neu; er wendet die Closed-Form Summe gleich n mal n nach Validierung von n an, sodass das Ergebnis im unterstützten Integer-Bereich exakt und frei von Gleitkomma-Drift ist. Klassenraumchecks umfassen n gleich eins mit Summe eins, n gleich zehn mit Summe einhundert und n gleich einhundert mit Summe zehntausend.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Prüfungskontrollen
Prüfen Sie, dass 1+3+…+(2n−1) gleich n² für Klassenaufgaben ist, und lehnen Sie n unter 1 mit klarem Fehler statt falschem Total ab.
Induktion mit Live-Zahlen lehren
Zeigen Sie Schülern, wie jeder neue ungerade Term den laufenden Total zum nächsten perfekten Quadrat wachsen lässt, mit derselben Funktion in Browser-Demos und Bewertungsskripten.
Häufige Fragen
Welche Formel nutzt dieser Rechner?
Die Summe der ersten n positiven Ungeraden ist n²: 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² für jede ganze Zahl n ≥ 1.
Was passiert, wenn n 0 oder negativ ist?
Die ersten n positiven Ungeraden sind nur für n mindestens 1 definiert.
Warum ergeben die ersten n ungeraden Zahlen eine Quadratzahl?
Stellen Sie sich ein Quadrat aus L-förmigen Rändern vor. Jeder neue Rand fügt die nächste ungerade Zahl an Kästchen hinzu und vergrößert das Quadrat um eine Reihe, so ergeben 1, 1 plus 3 und 1 plus 3 plus 5 die Werte 1, 4 und 9.
Welche ist die letzte ungerade Zahl der Summe?
Es ist das Doppelte von n minus 1, und der Rechner zeigt sie neben der Summe an. Bei n gleich 5 laufen die ungeraden Zahlen von 1 bis 9, ihre Summe ist 25.
Wie beweist man die Formel per Induktion?
Angenommen, die ersten k ungeraden Zahlen ergeben k zum Quadrat. Die nächste ungerade Zahl ist zweimal k plus 1, und k zum Quadrat plus zweimal k plus 1 ist genau (k + 1) zum Quadrat, also gilt die Regel für jedes n.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Das kostenlose Browser-Tool und die bezahlte API teilen eine reine Funktion, sodass Klassendemos und Produktionspipelines beim selben n nie still auseinanderlaufen.
Warum die ersten n Ungeraden n im Quadrat ergeben
Weil die Identität algebraisch und nicht näherungsweise ist, ist dieselbe Zahl das, was eine sorgfältige Schleife, die zwei i plus eins von null bis n minus eins addiert, erzeugen würde — das macht den Endpoint zu einem verlässlichen Orakel für Unit-Tests und Auto-Grader.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Verdrahten Sie das kostenlose Browser-Tool für schnelle Plausibilitätschecks und rufen Sie denselben Vertrag aus Skripten auf, wenn Sie Massenauswertung von Summen ungerader Zahlen brauchen, ohne das Gate in jeder Sprache neu zu implementieren. Geben Sie ein erforderliches Integer-Feld n (Aliasse count, terms, how_many) an, das angibt, wie viele führende positive Ungeraden Sie addieren wollen. Der Wert muss eine ganze Zahl zwischen eins und zehn Millionen einschließlich sein; fehlende Felder, leere Zeichenketten, Dezimalzahlen, nichtnumerischer Text, null und Negative werden mit invalid_input abgelehnt und nicht berechnet. Bei Erfolg spiegelt die JSON-Antwort das normalisierte n wider, liefert sum als n im Quadrat, enthält last_odd als zwei n minus eins, damit Clients den letzten Term ohne Neuberechnung anzeigen können, setzt formula auf die Zeichenkette n caret two und identity auf die lesbare Zeichenkette eins plus drei plus Auslassungspunkte plus offene Klammer zwei n minus eins schließende Klammer gleich n im Quadrat für Dokumentation in Logs und Lehr-UIs. Beispielchecks: n gleich fünf ergibt sum fünfundzwanzig und last_odd neun; n gleich eins ergibt sum eins und last_odd eins; n gleich sieben ergibt sum neunundvierzig und last_odd dreizehn; n gleich null oder n gleich minus drei scheitern mit invalid_input und der Meldung, dass n mindestens eins sein muss. Der Vertrag ist stabiles JSON, geeignet für Unit-Tests, Hausaufgabenprüfer und Batch-Pipelines.
Wo diese Identität in der Praxis vorkommt
Algebra-Einheiten der Sekundarstufe und Zahlenverständnis-Einheiten fragen ständig nach der Summe der ersten n Ungeraden oder danach, warum dieses Total ein perfektes Quadrat ist; ein vertrauenswürdiger Rechner mit strenger Prüfung n größer gleich eins beschleunigt die Korrektur und entfernt Tabellenkalkulationsfehler, bei denen jemand die falsche Closed-Form multipliziert. Wenn Sie später die Summe der ersten n Geraden, eine beliebige arithmetische Reihe oder Ungeraden ab einem Offset ungleich eins brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten statt diese Landingpage zu überladen. Programmierwettbewerbs-Warm-ups und Coding-Interview-Drills nutzen dieselbe Identität als erste Übung zu Schleifen, Induktion oder Closed-Form-Denken, sodass ein API-Orakel mit sum, last_odd und Formelzeichenkette Auto-Gradern den Vergleich der Schülerausgabe ohne wackelige Toleranz erlaubt. Visualisierungs- und Lehrdemos, die ein n-mal-n-Gitter um einen L-förmigen ungeraden Rand pro Schritt wachsen lassen, können last_odd und sum bei jedem Schritt abrufen, um Erzählung und Zahlen auszurichten. Weil diese Kapazität eine reine Parse-Engine ist, ist der API-Preis die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Posten und fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Integrationsbeispiele
Coding-Drills und Auto-Grader
Vergleichen Sie Schüler-Schleifenimplementierungen mit Closed-Form-Summe und last_odd, ohne die Identität in jedem Test-Harness neu abzuleiten.
Technische Fragen
Was ist last_odd in der Antwort?
Es ist die n-te positive ungerade Zahl, gleich 2n − 1, damit Sie den letzten Term ohne Neuberechnung anzeigen können.
Summiert dies Gerade oder einen beliebigen ungeraden Bereich?
Nein. Dieser Endpoint summiert nur die ersten n positiven Ungeraden ab 1. Andere Reihen sind getrennte Werkzeuge.
Was kostet es?
Das Browser-Tool ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Posten; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.