Somma dei primi n dispari
Sommi i primi n dispari in un solo passaggio, perché danno sempre n al quadrato: i primi 10 dispari fanno 100 e i primi 100 fanno 10.000. Esatto per qualsiasi n fino a dieci milioni. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 5
- Somma
- 25
- Ultimo dispari
- 9
- Identità
- 1+3+...+(2n-1)=n^2
I primi n numeri dispari positivi formano una sequenza semplice che nasconde un’identità potente: uno più tre più cinque e così via fino all’n-esimo dispari somma sempre n al quadrato. Per n uguale a uno la somma è uno; per n uguale a due è quattro; per n uguale a tre è nove; per n uguale a cinque è venticinque. Questa calcolatrice accetta un intero positivo n, valida che sia almeno uno e restituisce la somma insieme all’ultimo termine dispari e alla formula classica affinché studenti, docenti e sviluppatori possano verificare compiti, costruire demo o collegare test automatici senza ridimostrare la prova sotto pressione. Valori di n inferiori a uno sono rifiutati con un errore di validazione chiaro invece di uno zero silenzioso o un totale assurdo.
Perché i primi n dispari sommano n al quadrato
Scriva i primi n dispari positivi come uno, tre, cinque e così via fino a due n meno uno. Ci sono esattamente n termini in quell’elenco e ciascun termine è due volte il suo indice base zero più uno. Sommarli a mano per n piccoli suggerisce già un pattern: uno è uno al quadrato; uno più tre è quattro, due al quadrato; uno più tre più cinque è nove, tre al quadrato; e uno più tre più cinque più sette è sedici, quattro al quadrato.
Un breve argomento induttivo sancisce l’identità per ogni intero positivo n: se la somma dei primi k dispari è k al quadrato, allora la somma dei primi k più uno dispari è k al quadrato più il successivo dispari due k più uno, che si espande in k al quadrato più due k più uno, esattamente lo sviluppo di parentesi aperta k più uno parentesi chiusa al quadrato.
Anche le immagini geometriche aiutano: un quadrato n per n si costruisce annidando bordi a L di lunghezza dispari, ciascun bordo che contribuisce un numero dispari in più di quadrati unitari. Questo servizio non ridimostra il teorema a ogni chiamata; applica la forma chiusa somma uguale a n per n dopo aver validato n, così il risultato è esatto nell’intervallo intero supportato e privo di deriva in virgola mobile.
Controlli in aula includono n uguale a uno con somma uno, n uguale a dieci con somma cento e n uguale a cento con somma diecimila.
Casi d'uso
Controlli di compiti ed esami
Verifichi che 1+3+…+(2n−1) sia uguale a n² nei problemi di classe e rifiuti n inferiore a 1 con un errore chiaro invece di un totale sbagliato.
Insegnare l’induzione con numeri dal vivo
Mostri agli studenti come ogni nuovo termine dispari fa crescere il totale parziale al quadrato perfetto successivo, usando la stessa funzione in demo browser e script di correzione.
Domande frequenti
Quale formula usa questa calcolatrice?
La somma dei primi n dispari positivi è n²: 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² per ogni intero n ≥ 1.
Cosa succede se n è 0 o negativo?
I primi n dispari positivi sono definiti solo per n almeno 1.
Quanto costa?
Lo strumento del browser è gratuito e gira in locale.
Perché i primi n dispari danno un quadrato perfetto?
Immagini un quadrato costruito con bordi a forma di L. Ogni nuovo bordo aggiunge il dispari successivo in quadratini e allarga il quadrato di un'unità, così 1, poi 1 più 3, poi 1 più 3 più 5 danno 1, 4 e 9.
Qual è l'ultimo dispari della somma?
È il doppio di n meno 1, e il calcolatore lo mostra accanto al totale. Con n uguale a 5 i dispari vanno da 1 a 9, e la loro somma è 25.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Lo strumento gratuito del browser e l’API a pagamento condividono un’unica funzione pura, così le demo in aula e le pipeline di produzione non divergono mai in silenzio sullo stesso n.
Perché i primi n dispari sommano n al quadrato
Poiché l’identità è algebrica e non approssimata, lo stesso numero è quello che produrrebbe un ciclo attento che somma due i più uno da zero a n meno uno, il che rende l’endpoint un oracolo affidabile per test unitari e autovalutatori.
Cosa inviare e cosa si ottiene indietro
Colleghi lo strumento gratuito del browser per controlli rapidi, poi chiami lo stesso contratto dagli script quando le serve valutazione massiva di somme di dispari senza reimplementare il gate in ogni linguaggio. Fornisca un campo intero obbligatorio n (alias count, terms, how_many) uguale a quanti dispari positivi iniziali desidera sommare. Il valore deve essere un intero tra uno e dieci milioni inclusi; campi assenti, stringhe vuote, decimali, testo non numerico, zero e negativi sono rifiutati con invalid_input e non vengono addebitati. In caso di successo la risposta JSON riecheggia l’n normalizzato, restituisce sum come n al quadrato, include last_odd come due n meno uno così i client possono mostrare l’ultimo termine senza ricalcolarlo, imposta formula sulla stringa n caret two e identity sulla stringa leggibile uno più tre più ellissi più parentesi aperta due n meno uno parentesi chiusa uguale a n al quadrato per la documentazione in log e UI didattiche. Controlli di esempio: n uguale a cinque produce sum venticinque e last_odd nove; n uguale a uno produce sum uno e last_odd uno; n uguale a sette produce sum quarantanove e last_odd tredici; n uguale a zero o n uguale a meno tre falliscono invalid_input con un messaggio che n deve essere almeno uno. Il contratto è JSON stabile adatto a test unitari, correttori di compiti e pipeline batch.
Dove questa identità compare nel lavoro reale
Le unità di algebra delle superiori e di senso numerico chiedono spesso di sommare i primi n dispari o di spiegare perché quel totale è un quadrato perfetto; una calcolatrice affidabile con controllo stretto n maggiore o uguale a uno accelera la correzione e rimuove errori di foglio di calcolo in cui qualcuno moltiplica la forma chiusa sbagliata. Se più avanti le serve la somma dei primi n pari, una serie aritmetica arbitraria o dispari che partono da uno scostamento diverso da uno, li tratti come intenti di ricerca separati invece di sovraccaricare questa pagina di atterraggio. I riscaldamenti di gare di programmazione e le esercitazioni di colloquio usano la stessa identità come primo esercizio su cicli, induzione o pensiero in forma chiusa, così un oracolo API che restituisce sum, last_odd e la stringa della formula consente agli autovalutatori di confrontare l’output dello studente senza tolleranza instabile. Demo di visualizzazione e di insegnamento che fanno crescere una griglia n per n un bordo dispari a L alla volta possono recuperare last_odd e sum a ogni passo per allineare narrazione e numeri. Poiché questa capacità è un motore di parse puro, il prezzo API è la base pubblicata di $0.002 per elemento riuscito e la validazione fallita non consuma saldo.
Casi di integrazione
Esercizi di codice e autovalutatori
Confronti implementazioni a ciclo degli studenti con la somma in forma chiusa e last_odd senza ridimostrare l’identità in ogni harness di test.
Domande tecniche
Cos’è last_odd nella risposta?
È l’n-esimo dispari positivo, uguale a 2n − 1, così può mostrare l’ultimo termine senza ricalcolarlo.
Questa somma riguarda i pari o un intervallo dispari arbitrario?
No. Questo endpoint somma solo i primi n dispari positivi a partire da 1. Altre serie sono strumenti separati.