最初のn個の奇数の和
最初のn個の奇数の和は必ずnの2乗になるので、一度で求まります。最初の10個の奇数の和は100、最初の100個なら10000です。nが1千万までなら正確です。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- N
- 5
- 和
- 25
- 最後の奇数
- 9
- 恒等式
- 1+3+...+(2n-1)=n^2
最初のn個の正の奇数は、強力な恒等式を隠した単純な列です。1たす3たす5からn番目の奇数までを加えると、常にnの二乗になります。nが1なら和は1、nが2なら4、nが3なら9、nが5なら25です。本電卓は正の整数nを受け取り、少なくとも1であることを検証し、和と最後の奇数項と古典的な公式を返すため、生徒・教員・開発者が宿題確認、デモ構築、自動テスト接続を、証明を急ぎで再導出せずに行えます。1未満のnは黙ったゼロや意味のない合計ではなく、明確な検証エラーで拒否されます。
最初のn個の奇数がnの二乗になる理由
最初のn個の正の奇数を1、3、5から2n−1までと書きます。そのリストにはちょうどn項があり、各項はゼロ始まりの添字の2倍に1を加えたものです。小さなnで手計算するとすでにパターンが見えます：1は1の二乗、1たす3は4で2の二乗、1たす3たす5は9で3の二乗、1たす3たす5たす7は16で4の二乗です。
短い帰納法があらゆる正整数nで恒等式を確定します。最初のk個の奇数の和がkの二乗なら、最初のk+1個の和はkの二乗に次の奇数2k+1を足したもので、展開するとkの二乗たす2kたす1となり、これは括弧を開けてkたす1括弧を閉じたものの二乗の展開そのものです。幾何的な絵も助けになります。
n×nの正方形は奇数長のL字の縁を入れ子にして作れ、各縁が単位正方形を奇数個ずつ追加します。本サービスは呼び出しのたびに定理を再証明せず、nを検証したうえで和がn×nという閉形式を適用するため、対応する整数範囲内で厳密かつ浮動小数点ドリフトなしです。
この恒等式が実務で現れる場面
中等教育の代数や数感覚の単元では、最初のn個の奇数の和を求めたり、それが完全平方になる理由を説明させたりします。n≥1の厳格チェック付きの信頼できる電卓は採点を速め、誤った閉形式を掛けてしまう表計算ミスを除きます。
データと分析のチームが文書化や合成ベンチマーク用の決定的フィクスチャを必要とすることがあり、n・sum・identityをエコーするとそのフィクスチャが自己説明的になります。のちに最初のn個の偶数の和、任意の等差級数、1以外のオフセットから始まる奇数が必要なら、このランディングを過負荷にせず別の検索意図として扱ってください。
活用例
宿題と試験の確認
教室の問題で1+3+…+(2n−1)がn²と等しいことを確認し、1未満のnは誤った合計ではなく明確なエラーで拒否します。
ライブ数値で帰納法を教える
新しい奇数項が累計を次の完全平方まで伸ばす様子を、ブラウザデモと採点スクリプトで同じ関数を使って示します。
よくある質問
この電卓はどの公式を使いますか？
最初のn個の正の奇数の和はn²です：任意の整数n ≥ 1について 1 + 3 + … + (2n − 1) = n²。
nが0または負の場合はどうなりますか？
最初のn個の正の奇数はnが少なくとも1のときだけ定義されます。
最初のn個の奇数の和が平方数になるのはなぜですか？
L字形の枠を重ねて正方形を作るところを想像してください。新しい枠は次の奇数の個数だけ小さな正方形を加え、正方形を1回り大きくします。1、1と3、1と3と5で1、4、9になります。
和に含まれる最後の奇数は何ですか？
nの2倍から1を引いた数で、計算結果の合計と一緒に表示されます。nが5なら奇数は1から9までで、その和は25です。
この公式は数学的帰納法でどう証明しますか？
最初のk個の奇数の和がkの2乗だと仮定します。次の奇数はkの2倍に1を足した数で、kの2乗にそれを足すとちょうど (k + 1) の2乗になるので、すべてのnで成り立ちます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"n": 5
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
無料のブラウザツールと有料APIは一つの純関数を共有するため、教室デモと本番パイプラインが同じnで静かに乖離することはありません。
最初のn個の奇数がnの二乗になる理由
教室での確認例は、n=1で和1、n=10で和100、n=100で和10000です。恒等式は近似ではなく代数的なので、0からn−1まで2i+1を足す注意深いループが生むのと同じ数になり、エンドポイントは単体テストや自動採点の信頼できるオラクルになります。
送るものと返ってくるもの
値は1以上一千万以下の整数である必要があります。手早い確認には無料ブラウザツールを、各言語でゲートを再実装せず奇数和の一括評価が必要なときはスクリプトから同一契約を呼び出してください。必須の整数フィールドn（別名count、terms、how_many）に、先頭から何個の正の奇数を加えるかを入れてください。欠落フィールド、空文字列、小数、非数値テキスト、0、負数はinvalid_inputで拒否され課金されません。成功時、JSON応答は正規化されたnをエコーし、sumをnの二乗として返し、クライアントが再計算なしに最終項を示せるようlast_oddを2n−1として含め、formulaをn caret twoの文字列に、identityを1たす3たす省略記号たす開き括弧2n−1閉じ括弧はnの二乗という読みやすい文字列に設定し、ログや教材UIでの文書化に使えます。例：n=5ならsumは25、last_oddは9；n=1ならsumは1、last_oddは1；n=7ならsumは49、last_oddは13；n=0またはn=−3はnが少なくとも1でなければならないというメッセージ付きでinvalid_inputになります。契約は単体テスト、宿題チェッカー、バッチパイプラインに適した安定JSONです。
この恒等式が実務で現れる場面
プログラミングコンテストのウォーミングアップやコーディング面接ドリルは、ループ・帰納・閉形式思考の最初の演習として同じ恒等式を使うので、sum・last_odd・式文字列を返すAPIオラクルがあれば、自動採点が不安定な許容差なしに生徒出力を比較できます。n×nグリッドをL字の奇数縁を一段ずつ伸ばす可視化・教材デモは、各ステップでlast_oddとsumを取得して語りと数値を揃えられます。本能力は純parseエンジンのため、API料金は成功項目あたり公開ベースの$0.002で、検証失敗は残高を消費しません。
連携の活用例
コーディングドリルと自動採点
生徒のループ実装を、各テストハーネスで恒等式を再導出せずに閉形式の和とlast_oddと比較します。
技術的な質問
応答のlast_oddとは何ですか？
n番目の正の奇数で、2n − 1に等しく、最終項を再計算せずに表示できます。
偶数や任意の奇数範囲も合計しますか？
いいえ。このエンドポイントは1から始まる最初のn個の正の奇数だけを合計します。他の級数は別ツールです。
費用はいくらですか？
ブラウザツールは無料でローカル実行です。APIリクエストは成功項目ごとに前払いKIT残高を$0.002で使用し、無効入力は課金されません。