Suma de los n primeros impares
Sume los n primeros impares en un solo paso, porque siempre dan n al cuadrado: los 10 primeros impares suman 100 y los 100 primeros suman 10 000. Exacto para cualquier n de hasta diez millones. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 5
- Suma
- 25
- Último impar
- 9
- Identidad
- 1+3+...+(2n-1)=n^2
Los n primeros números impares positivos forman una secuencia sencilla que oculta una identidad potente: uno más tres más cinco y así hasta el n-ésimo impar suma siempre n al cuadrado. Para n igual a uno la suma es uno; para n igual a dos es cuatro; para n igual a tres es nueve; para n igual a cinco es veinticinco. Esta calculadora acepta un entero positivo n, valida que sea al menos uno y devuelve la suma junto con el último término impar y la fórmula clásica para que estudiantes, docentes y desarrolladores comprueben tareas, monten demos o conecten pruebas automáticas sin rederivar la demostración bajo presión. Valores de n menores que uno se rechazan con un error de validación claro en lugar de un cero silencioso o un total absurdo.
Por qué los n primeros impares suman n al cuadrado
Escriba los n primeros impares positivos como uno, tres, cinco y así hasta dos n menos uno. Hay exactamente n términos en esa lista, y cada término es dos veces su índice base cero más uno. Sumarlos a mano para n pequeños ya sugiere un patrón: uno es uno al cuadrado; uno más tres es cuatro, que es dos al cuadrado; uno más tres más cinco es nueve, tres al cuadrado; y uno más tres más cinco más siete es dieciséis, cuatro al cuadrado.
Un argumento inductivo breve sella la identidad para todo entero positivo n: si la suma de los k primeros impares es k al cuadrado, entonces la suma de los k más uno primeros impares es k al cuadrado más el siguiente impar dos k más uno, que se expande a k al cuadrado más dos k más uno, exactamente el desarrollo de paréntesis abierto k más uno paréntesis cerrado al cuadrado.
Las imágenes geométricas también ayudan: un cuadrado n por n se construye anidando bordes en L de longitud impar, cada borde aportando un número impar más de casillas unitarias. Este servicio no vuelve a demostrar el teorema en cada llamada; aplica la forma cerrada suma igual a n por n tras validar n, de modo que el resultado es exacto dentro del rango entero admitido y libre de deriva en coma flotante.
Comprobaciones de aula incluyen n igual a uno con suma uno, n igual a diez con suma cien y n igual a cien con suma diez mil.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de tareas y exámenes
Verifique que 1+3+…+(2n−1) es igual a n² en problemas de aula y rechace n menor que 1 con un error claro en lugar de un total incorrecto.
Enseñar inducción con números en vivo
Muestre a los estudiantes cómo cada nuevo término impar hace crecer el total parcial al siguiente cuadrado perfecto, usando la misma función en demos del navegador y scripts de corrección.
Preguntas frecuentes
¿Qué fórmula usa esta calculadora?
La suma de los n primeros impares positivos es n²: 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² para todo entero n ≥ 1.
¿Qué ocurre si n es 0 o negativo?
Los n primeros impares positivos solo están definidos para n al menos 1.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
¿Por qué los n primeros impares suman un cuadrado perfecto?
Imagine un cuadrado formado por bordes en forma de L. Cada borde nuevo añade el siguiente impar en casillas y agranda el cuadrado una unidad, así que 1, luego 1 más 3 y luego 1 más 3 más 5 dan 1, 4 y 9.
¿Cuál es el último impar de la suma?
Es el doble de n menos 1, y la calculadora lo muestra junto al total. Con n igual a 5 los impares van del 1 al 9, y su suma es 25.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 5
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La herramienta gratuita del navegador y la API de pago comparten una sola función pura, de modo que las demos de aula y las canalizaciones de producción nunca divergen en silencio para el mismo n.
Qué se envía y qué se obtiene de vuelta
Conecte la herramienta gratuita del navegador para comprobaciones rápidas y luego llame al contrato idéntico desde scripts cuando necesite evaluación masiva de sumas de impares sin reimplementar la puerta en cada lenguaje. Proporcione un campo entero obligatorio n (alias count, terms, how_many) igual a cuántos impares positivos iniciales desea sumar. El valor debe ser un entero entre uno y diez millones inclusive; campos ausentes, cadenas vacías, decimales, texto no numérico, cero y negativos se rechazan con invalid_input y no se cobran. En éxito, la respuesta JSON repite el n normalizado, devuelve sum como n al cuadrado, incluye last_odd como dos n menos uno para que los clientes muestren el último término sin recalcularlo, fija formula a la cadena n caret two e identity a la cadena legible uno más tres más puntos suspensivos más paréntesis abierto dos n menos uno paréntesis cerrado igual a n al cuadrado para documentación en registros e interfaces didácticas. Comprobaciones de ejemplo: n igual a cinco produce sum veinticinco y last_odd nueve; n igual a uno produce sum uno y last_odd uno; n igual a siete produce sum cuarenta y nueve y last_odd trece; n igual a cero o n igual a menos tres fallan invalid_input con un mensaje de que n debe ser al menos uno.
Dónde aparece esta identidad en el trabajo real
Las unidades de álgebra de secundaria y de sentido numérico de primaria piden a menudo sumar los n primeros impares o explicar por qué ese total es un cuadrado perfecto; una calculadora de confianza con comprobación estricta de n mayor o igual que uno acelera la corrección y elimina errores de hoja de cálculo donde alguien multiplica la forma cerrada equivocada. Si más adelante necesita la suma de los n primeros pares, una serie aritmética arbitraria o impares que empiecen en un desplazamiento distinto de uno, trátelos como intenciones de búsqueda separadas en lugar de sobrecargar esta página de aterrizaje. Los calentamientos de concursos de programación y los ejercicios de entrevista usan la misma identidad como primer ejercicio de bucles, inducción o pensamiento en forma cerrada, de modo que un oráculo API que devuelve sum, last_odd y la cadena de fórmula permite a los autoevaluadores comparar la salida del alumno sin tolerancia inestable. Las demos de visualización y de enseñanza que crecen una cuadrícula n por n un borde impar en L cada vez pueden obtener last_odd y sum en cada paso para alinear narración y números. Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem exitoso y la validación fallida no consume saldo.
Casos de integración
Ejercicios de código y autoevaluadores
Compare implementaciones en bucle de los alumnos con la suma de forma cerrada y last_odd sin rederivar la identidad en cada arnés de prueba.
Preguntas técnicas
¿Qué es last_odd en la respuesta?
Es el n-ésimo impar positivo, igual a 2n − 1, para que pueda mostrar el último término sin recalcularlo.
¿Suma esta herramienta números pares o un rango impar arbitrario?
No. Este endpoint solo suma los n primeros impares positivos empezando en 1. Otras series son herramientas separadas.