Soma dos n primeiros ímpares
Some os n primeiros ímpares de uma vez, porque eles sempre dão n ao quadrado: os 10 primeiros ímpares somam 100 e os 100 primeiros somam 10.000. Exato para qualquer n de até dez milhões. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 5
- Soma
- 25
- Último ímpar
- 9
- Identidade
- 1+3+...+(2n-1)=n^2
Os n primeiros números ímpares positivos formam uma sequência simples que esconde uma identidade poderosa: um mais três mais cinco e assim por diante até o n-ésimo ímpar soma sempre n ao quadrado. Para n igual a um a soma é um; para n igual a dois é quatro; para n igual a três é nove; para n igual a cinco é vinte e cinco. Esta calculadora aceita um inteiro positivo n, valida que seja pelo menos um e devolve a soma junto com o último termo ímpar e a fórmula clássica para que alunos, professores e desenvolvedores verifiquem lições, montem demos ou liguem testes automáticos sem rederivar a prova sob pressão. Valores de n abaixo de um são rejeitados com um erro de validação claro em vez de um zero silencioso ou total absurdo.
Por que os n primeiros ímpares somam n ao quadrado
Escreva os n primeiros ímpares positivos como um, três, cinco e assim até dois n menos um. Há exatamente n termos nessa lista, e cada termo é duas vezes seu índice base zero mais um. Somá-los à mão para n pequenos já sugere um padrão: um é um ao quadrado; um mais três é quatro, que é dois ao quadrado; um mais três mais cinco é nove, três ao quadrado; e um mais três mais cinco mais sete é dezesseis, quatro ao quadrado.
Um argumento indutivo curto sela a identidade para todo inteiro positivo n: se a soma dos k primeiros ímpares é k ao quadrado, então a soma dos k mais um primeiros ímpares é k ao quadrado mais o próximo ímpar dois k mais um, que se expande para k ao quadrado mais dois k mais um, exatamente o desenvolvimento de parêntese aberto k mais um parêntese fechado ao quadrado.
Imagens geométricas também ajudam: um quadrado n por n pode ser construído aninhando bordas em L de comprimento ímpar, cada borda contribuindo mais um número ímpar de quadrados unitários. Este serviço não reprova o teorema a cada chamada; aplica a forma fechada soma igual a n vezes n após validar n, de modo que o resultado é exato no intervalo inteiro suportado e livre de deriva em ponto flutuante.
Checagens de sala incluem n igual a um com soma um, n igual a dez com soma cem e n igual a cem com soma dez mil.
Casos de uso
Checagens de lições e provas
Verifique que 1+3+…+(2n−1) é igual a n² em problemas de sala e rejeite n abaixo de 1 com erro claro em vez de um total errado.
Ensinar indução com números ao vivo
Mostre aos alunos como cada novo termo ímpar faz o total parcial crescer até o próximo quadrado perfeito, usando a mesma função em demos do navegador e scripts de correção.
Perguntas frequentes
Qual fórmula esta calculadora usa?
A soma dos n primeiros ímpares positivos é n²: 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² para todo inteiro n ≥ 1.
O que acontece se n for 0 ou negativo?
Os n primeiros ímpares positivos só estão definidos para n pelo menos 1.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Por que os n primeiros ímpares somam um quadrado perfeito?
Imagine um quadrado montado com bordas em forma de L. Cada borda nova acrescenta o próximo ímpar em quadradinhos e aumenta o quadrado em uma unidade, então 1, depois 1 mais 3 e depois 1 mais 3 mais 5 dão 1, 4 e 9.
Qual é o último ímpar da soma?
É o dobro de n menos 1, e a calculadora mostra esse número ao lado do total. Com n igual a 5 os ímpares vão do 1 ao 9, e a soma deles é 25.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A ferramenta gratuita do navegador e a API paga compartilham uma única função pura, de modo que demos de sala e pipelines de produção nunca divergem em silêncio no mesmo n.
Por que os n primeiros ímpares somam n ao quadrado
Como a identidade é algébrica e não aproximada, o mesmo número é o que um laço cuidadoso que some dois i mais um de zero até n menos um produziria, o que torna o endpoint um oráculo confiável para testes unitários e autoavaliadores.
O que você envia e o que recebe de volta
Ligue a ferramenta gratuita do navegador para checagens rápidas e depois chame o contrato idêntico a partir de scripts quando precisar de avaliação em massa de somas de ímpares sem reimplementar o gate em cada linguagem. Forneça um campo inteiro obrigatório n (aliases count, terms, how_many) igual a quantos ímpares positivos iniciais você quer somar. O valor deve ser um inteiro entre um e dez milhões inclusive; campos ausentes, strings vazias, decimais, texto não numérico, zero e negativos são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. Em sucesso, a resposta JSON ecoa o n normalizado, devolve sum como n ao quadrado, inclui last_odd como dois n menos um para clientes exibirem o termo final sem recalcular, define formula como a string n caret two e identity como a string legível um mais três mais reticências mais parêntese aberto dois n menos um parêntese fechado igual a n ao quadrado para documentação em logs e UIs didáticas. Checagens de exemplo: n igual a cinco produz sum vinte e cinco e last_odd nove; n igual a um produz sum um e last_odd um; n igual a sete produz sum quarenta e nove e last_odd treze; n igual a zero ou n igual a menos três falham invalid_input com mensagem de que n deve ser pelo menos um. O contrato é JSON estável adequado a testes unitários, corretores de lição e pipelines em lote.
Onde esta identidade aparece no trabalho real
Unidades de álgebra do ensino médio e de senso numérico pedem constantemente que alunos somem os n primeiros ímpares ou expliquem por que esse total é um quadrado perfeito; uma calculadora confiável com checagem estrita de n maior ou igual a um acelera a correção e remove erros de planilha em que alguém multiplica a forma fechada errada. Se mais tarde você precisar da soma dos n primeiros pares, de uma série aritmética arbitrária ou de ímpares a partir de um deslocamento diferente de um, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página de destino. Aquecimentos de competições de programação e drills de entrevista usam a mesma identidade como primeiro exercício de laços, indução ou pensamento em forma fechada, de modo que um oráculo API que devolve sum, last_odd e a string da fórmula permite a autoavaliadores comparar a saída do aluno sem tolerância instável. Demos de visualização e ensino que crescem uma grade n por n uma borda ímpar em L de cada vez podem puxar last_odd e sum a cada passo para manter narração e números alinhados. Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e validação falha não consome saldo.
Casos de integração
Exercícios de código e autoavaliadores
Compare implementações em laço dos alunos com a soma em forma fechada e last_odd sem rederivar a identidade em cada harness de teste.
Perguntas técnicas
O que é last_odd na resposta?
É o n-ésimo ímpar positivo, igual a 2n − 1, para você exibir o termo final sem recalculá-lo.
Esta ferramenta soma pares ou um intervalo ímpar arbitrário?
Não. Este endpoint só soma os n primeiros ímpares positivos a partir de 1. Outras séries são ferramentas separadas.