Somme des n premiers impairs
Additionnez les n premiers impairs en une étape, car ils donnent toujours n au carré : les 10 premiers impairs font 100 et les 100 premiers font 10 000. Exact pour tout n jusqu'à dix millions. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 5
- Somme
- 25
- Dernier impair
- 9
- Identité
- 1+3+...+(2n-1)=n^2
Les n premiers nombres impairs positifs forment une suite simple qui cache une identité puissante : un plus trois plus cinq et ainsi de suite jusqu’au n-ième impair s’additionne toujours à n au carré. Pour n égal à un la somme est un ; pour n égal à deux elle est quatre ; pour n égal à trois elle est neuf ; pour n égal à cinq elle est vingt-cinq. Cette calculatrice accepte un entier positif n, vérifie qu’il est au moins un, et renvoie la somme avec le dernier terme impair et la formule classique afin que élèves, enseignants et développeurs puissent vérifier des devoirs, construire des démos ou brancher des tests automatisés sans redériver la preuve sous pression. Les valeurs de n inférieures à un sont rejetées avec une erreur de validation claire au lieu d’un zéro silencieux ou d’un total absurde.
Pourquoi les n premiers impairs somment à n au carré
Écrivez les n premiers impairs positifs comme un, trois, cinq et ainsi de suite jusqu’à deux n moins un. Il y a exactement n termes dans cette liste, et chaque terme est deux fois son indice base zéro plus un.
Les additionner à la main pour de petits n suggère déjà un motif : un égale un au carré ; un plus trois égale quatre qui est deux au carré ; un plus trois plus cinq égale neuf qui est trois au carré ; et un plus trois plus cinq plus sept égale seize qui est quatre au carré.
Un court argument par induction scelle l’identité pour tout entier positif n : si la somme des k premiers impairs est k au carré, alors la somme des k plus un premiers impairs est k au carré plus l’impair suivant deux k plus un, qui se développe en k au carré plus deux k plus un, exactement le développement de parenthèse ouverte k plus un parenthèse fermée au carré.
Les images géométriques aident aussi : un carré n par n peut se construire en emboîtant des bordures en L de longueur impaire, chaque bordure apportant un nombre impair de plus de carrés unitaires. Ce service ne reprouve pas le théorème à chaque appel ; il applique la forme fermée somme égale à n fois n après validation de n, de sorte que le résultat est exact dans la plage entière prise en charge et libre de dérive en virgule flottante.
Les contrôles en classe incluent n égal à un donnant somme un, n égal à dix donnant somme cent, et n égal à cent donnant somme dix mille.
Cas d’usage
Contrôles de devoirs et d’examens
Vérifiez que 1+3+…+(2n−1) égale n² pour les problèmes de classe et rejetez n inférieur à 1 avec une erreur claire au lieu d’un total faux.
Enseigner l’induction avec des nombres en direct
Montrez aux élèves comment chaque nouvel impair fait croître le total courant jusqu’au carré parfait suivant, avec la même fonction dans les démos navigateur et les scripts de notation.
Questions fréquentes
Quelle formule cette calculatrice utilise-t-elle ?
La somme des n premiers impairs positifs est n² : 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² pour tout entier n ≥ 1.
Que se passe-t-il si n vaut 0 ou est négatif ?
Les n premiers impairs positifs ne sont définis que pour n au moins 1.
Combien cela coûte-t-il ?
L’outil navigateur est gratuit et s’exécute en local.
Pourquoi les n premiers impairs donnent-ils un carré parfait ?
Imaginez un carré construit avec des bordures en forme de L. Chaque nouvelle bordure ajoute l'impair suivant en petits carrés et agrandit le carré d'un rang : 1, puis 1 plus 3, puis 1 plus 3 plus 5 donnent 1, 4 et 9.
Quel est le dernier impair de la somme ?
C'est le double de n moins 1, et le calculateur l'affiche à côté du total. Avec n égal à 5, les impairs vont de 1 à 9, et leur somme vaut 25.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
L’outil gratuit du navigateur et l’API payante partagent une seule fonction pure, de sorte que les démos en classe et les pipelines de production ne divergent jamais en silence pour le même n.
Pourquoi les n premiers impairs somment à n au carré
Comme l’identité est algébrique plutôt qu’approximative, le même nombre est celui qu’une boucle soigneuse additionnant deux i plus un de zéro à n moins un produirait, ce qui fait de l’endpoint un oracle digne de confiance pour tests unitaires et auto-correcteurs.
Ce que vous envoyez et ce que vous recevez
Branchez l’outil gratuit du navigateur pour des contrôles rapides, puis appelez le contrat identique depuis des scripts lorsque vous avez besoin d’une évaluation en masse des sommes d’impairs sans réimplémenter la porte dans chaque langage. Fournissez un champ entier obligatoire n (alias count, terms, how_many) égal au nombre d’impairs positifs initiaux que vous voulez additionner. La valeur doit être un entier entre un et dix millions inclus ; champs manquants, chaînes vides, décimales, texte non numérique, zéro et négatifs sont rejetés avec invalid_input et ne sont pas facturés. En cas de succès, la réponse JSON répète le n normalisé, renvoie sum comme n au carré, inclut last_odd comme deux n moins un pour que les clients affichent le dernier terme sans le recalculer, fixe formula à la chaîne n caret two et identity à la chaîne lisible un plus trois plus points de suspension plus parenthèse ouverte deux n moins un parenthèse fermée égale n au carré pour la documentation dans les journaux et les interfaces pédagogiques. Contrôles d’exemple : n égal à cinq donne sum vingt-cinq et last_odd neuf ; n égal à un donne sum un et last_odd un ; n égal à sept donne sum quarante-neuf et last_odd treize ; n égal à zéro ou n égal à moins trois échouent invalid_input avec un message indiquant que n doit être au moins un. Le contrat est un JSON stable adapté aux tests unitaires, correcteurs de devoirs et pipelines par lots.
Où cette identité apparaît dans le travail réel
Les unités d’algèbre du secondaire et de sens du nombre demandent constamment aux élèves de sommer les n premiers impairs ou d’expliquer pourquoi ce total est un carré parfait ; une calculatrice de confiance avec un contrôle strict n supérieur ou égal à un accélère la correction et élimine les erreurs de tableur où quelqu’un multiplie la mauvaise forme fermée. Si vous avez ensuite besoin de la somme des n premiers pairs, d’une série arithmétique arbitraire ou d’impairs commençant à un décalage autre que un, traitez-les comme des intentions de recherche séparées plutôt que de surcharger cette page d’atterrissage. Les échauffements de concours de programmation et les exercices d’entretien utilisent la même identité comme premier exercice de boucles, d’induction ou de pensée en forme fermée, de sorte qu’un oracle API renvoyant sum, last_odd et la chaîne de formule permet aux auto-correcteurs de comparer la sortie de l’élève sans tolérance instable. Les démos de visualisation et d’enseignement qui font croître une grille n par n une bordure impaire en L à la fois peuvent récupérer last_odd et sum à chaque étape pour aligner narration et chiffres. Comme cette capacité est un moteur de parse pur, le tarif API est la base publiée de $0.002 par élément réussi et une validation échouée ne consomme pas de solde.
Cas d'intégration
Exercices de code et auto-correcteurs
Comparez les implémentations en boucle des élèves à la somme en forme fermée et last_odd sans redériver l’identité dans chaque banc d’essai.
Questions techniques
Qu’est-ce que last_odd dans la réponse ?
C’est le n-ième impair positif, égal à 2n − 1, pour afficher le dernier terme sans le recalculer.
Cette somme porte-t-elle sur des pairs ou un intervalle impair arbitraire ?
Non. Cet endpoint ne somme que les n premiers impairs positifs à partir de 1. Les autres séries sont des outils séparés.