Calculateur de la suite d'Ulam

La suite d'Ulam est la suite d'entiers qui commence par un et deux, puis ajoute à chaque fois le plus petit entier pouvant s'écrire comme somme de deux termes antérieurs distincts d'exactement une façon. Cette règle de somme unique est simple à énoncer et étonnamment riche : les premiers termes semblent presque arithmétiques, puis des trous apparaissent, puis des grappes irrégulières sans forme fermée simple connue. Les étudiants la rencontrent en théorie des nombres récréative, les concours de programmation demandent les n premiers termes ou le n-ième nombre d'Ulam, et les notes de recherche étudient encore sa densité. Cette capacité accepte un entier positif n et renvoie le préfixe ordonné de longueur n, le dernier terme et une courte chaîne de formule qui reformule la définition.

Comment la suite d'Ulam est définie et pourquoi les sommes uniques comptent

Stanisław Ulam a défini la suite de sorte que les deux premiers termes soient un et deux, et que chaque terme ultérieur soit le plus petit entier strictement supérieur au précédent qui admet exactement une représentation comme somme de deux membres antérieurs distincts.

Selon cette règle, trois vaut un plus deux (unique), quatre vaut un plus trois (unique ; deux plus deux est interdit car les summands doivent être distincts), cinq vaut à la fois un plus quatre et deux plus trois (deux façons, donc omis), six vaut seulement deux plus quatre parmi les paires de termes antérieurs, et la suite continue huit, onze, treize, seize, dix-huit, et ainsi de suite.

Le filtre d'unicité sépare les nombres d'Ulam de l'ensemble de toutes les sommes de paires antérieures : de nombreux candidats ont deux représentations ou plus et sont rejetés même s'ils dépassent le maximum courant. Il n'existe pas de formule simple connue pour le n-ième terme, aussi un calcul fiable parcourt les candidats vers le haut, compte les paires non ordonnées issues des termes déjà acceptés, et accepte le premier candidat avec un compte de paires exactement égal à un.

Cette procédure est entièrement déterministe : le même n produit toujours la même liste ordonnée, sans graines aléatoires, horloges, dérive en virgule flottante ni appels réseau. Lorsque vous n'avez besoin que de la n-ième valeur, lisez le champ last de la réponse ; lorsque vous avez besoin de tout l'historique pour une diapositive de cours ou un correcteur de concours, utilisez le tableau sequence tel quel.

À quoi sert la suite d'Ulam

Les cours de théorie des nombres et les clubs de mathématiques récréatives utilisent un calculateur de suite d'Ulam pour que les apprenants génèrent un préfixe fiable sans compter à la main les sommes de paires de chaque candidat. Les auteurs de concours de programmation et les correcteurs LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui marque comme fausse toute liste incluant cinq ou sept parmi les premiers termes, et qui rejette n inférieur à un au lieu de renvoyer un succès vide qu'un correcteur buggé pourrait traiter comme correct.

Les carnets de recherche qui explorent les trous, les conjectures de densité ou les comparaisons avec des bases additives voisines bénéficient d'une implémentation de référence partagée plutôt que de recoder la boucle de somme unique dans chaque langage. Les démos produit et les questions d'entretien sur les bases additives peuvent montrer un court tableau à côté de la croissance de Fibonacci ou de Sylvester sans prétendre qu'il existe une forme fermée.

Gardez n dans la limite publiée, ancrez le tableau sequence dans les tests, et vous obtiendrez des préfixes d'Ulam reproductibles pour les devoirs, plugins CMS et workers de bord sans déployer d'infrastructure de calcul symbolique propre. Si vous avez ensuite besoin du seul n-ième terme sous une autre convention d'indexation, de suites de type Ulam modulaires ou de comptes d'unicité pour des bases arbitraires, traitez-les comme des intentions de recherche distinctes plutôt que de surcharger cette landing.