Permutations avec répétition
Comptez les suites ordonnées où les symboles peuvent se répéter : 5 symboles sur 3 positions donnent 125 possibilités, 5^3, la même règle du produit qui sert pour les codes et les mots de passe. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Nombre de symboles distincts
- 5
- Résistance (Ω)
- 3
- Valeur
- 125
- Quantité
- 125
Les permutations avec répétition répondent à une question de dénombrement simple : si vous disposez de n symboles distincts et formez des suites ordonnées de longueur r où le même symbole peut apparaître plus d'une fois, combien de suites existent ? La règle du produit multiplie n choix à chacune des r positions, de sorte que le total est exactement n élevé à la puissance r. Cette formule apparaît dans les espaces de mots de passe, les codes PIN, les colorations de chaînes de longueur fixe, l'échantillonnage avec remise et d'innombrables exercices de mathématiques discrètes où la réponse doit être un entier exact plutôt qu'une approximation en virgule flottante. Cette capacité accepte un entier positif n (la taille de l'alphabet) et un entier non négatif r (la longueur de la suite) et renvoie le décompte exact sous forme de chaîne décimale calculée avec l'arithmétique BigInt, afin que les valeurs bien au-delà des limites usuelles d'entiers sûrs restent correctes chiffre par chiffre. Les entrées avec n inférieur à un ou un r négatif sont rejetées avec une erreur de validation claire au lieu d'une mauvaise réponse silencieuse.
Comment les permutations avec répétition sont définies
Une sélection ordonnée de r positions parmi n symboles avec répétition autorisée est toute suite s1, s2, …, sr où chaque si appartient à un ensemble fixe de taille n. Comme l'ordre compte et que les symboles peuvent se répéter, la première position a n options, la deuxième en a encore n, et ainsi de suite pour chaque position jusqu'à r. Le principe fondamental du dénombrement multiplie ces choix indépendants en n × n × … × n, c'est-à-dire n à la puissance r.
Lorsque r vaut zéro, il existe exactement une suite vide, conformément à la convention algébrique selon laquelle tout n positif élevé à la puissance zéro vaut un. Cela diffère des permutations sans répétition, qui interdisent la réutilisation et donnent la factorielle décroissante n × (n − 1) × … × (n − r + 1), et des combinaisons, qui ignorent l'ordre. Les vérifications classiques de manuel incluent deux symboles de longueur trois donnant huit suites, cinq symboles de longueur deux donnant vingt-cinq, et dix symboles de longueur zéro donnant un.
Cette implémentation n'utilise jamais de puissance en virgule flottante, de logarithmes approximatifs ni d'échantillonnage : elle calcule la puissance entière exacte par exponentiation binaire BigInt pour que chaque chiffre soit correct. Le parcours est pleinement déterministe — sans graines aléatoires, sans horloges, sans réseau et sans dérive de modèle —, de sorte que le même n et r produisent toujours la même chaîne.
Où le dénombrement n à la puissance r apparaît dans le travail réel
Les équipes de sécurité et de produit estiment les espaces de mots de passe ou de PIN en traitant chaque position de caractère comme un choix dans un alphabet de taille n pour une longueur r, ce qui est exactement le décompte des permutations avec répétition n à la puissance r ; les entiers exacts aident à comparer la force des schémas sans approximations logarithmiques.
Les concours de programmation et les cours de mathématiques discrètes demandent constamment le nombre de mots de longueur r sur un alphabet de n lettres, les colorations de r perles avec n couleurs lorsque l'ordre compte et que les couleurs peuvent se répéter, ou les fonctions d'un ensemble de taille r vers un ensemble de taille n — toutes égales à n élevé à r.
Les pipelines de données et d'échantillonnage qui modélisent des tirages ordonnés avec remise ont besoin du même produit pour dimensionner les espaces d'échantillonnage ou valider des montages de Monte Carlo face à un total analytique. Les enseignants et la préparation aux entretiens montrent souvent un court tableau de petites valeurs de n et r ; calculer le décompte en un seul appel maintient les démonstrations interactives alignées sur les manuels et les corrigés.
Si vous avez ensuite besoin de permutations sans répétition, de combinaisons avec ou sans répétition, ou de la liste des tuples réels plutôt que du décompte, traitez-les comme des intentions de recherche distinctes plutôt que de surcharger cette page.
Cas d’usage
Taille de l'espace de mots de passe et PIN
Calculez des espaces alphabet exacts n^r pour des codes de longueur fixe et comparez les tailles de schémas sans approximations logarithmiques en virgule flottante.
Échantillonnage et dénombrement de fonctions
Dimensionnez des espaces d'échantillonnage ordonnés avec remise et comptez les fonctions de r positions vers n symboles pour les revues de conception.
Questions fréquentes
Que sont les permutations avec répétition ?
Ce sont des suites ordonnées de longueur r tirées de n symboles où le même symbole peut apparaître plus d'une fois. Le décompte total est exactement n élevé à la puissance r.
En quoi cela diffère-t-il des permutations sans répétition ?
Sans répétition, chaque symbole peut être utilisé au plus une fois, ce qui donne la factorielle décroissante n×(n−1)×…×(n−r+1). Avec répétition, la réutilisation est autorisée, donc le décompte est n^r.
Que se passe-t-il si n est inférieur à 1 ou si r est négatif ?
Ce calculateur exige n ≥ 1 et r ≥ 0 ; les bornes invalides sont rejetées et non facturées.
Pourquoi le décompte est-il une chaîne plutôt qu'un nombre ?
Les puissances dépassent rapidement les entiers sûrs de JavaScript. Les chaînes décimales conservent chaque chiffre exact pour les grandes valeurs de n^r.
Quel est le coût ?
L'outil du navigateur est gratuit et s'exécute localement.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/combo/permutations-with-repetition \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5,"r":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/combo/permutations-with-repetition", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5,
"r": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/combo/permutations-with-repetition",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5,
"r": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/combo/permutations-with-repetition", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5,"r":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"r":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/combo/permutations-with-repetition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 5,
"r": 3
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "combo.permutations_with_repetition",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
min_n | 1 |
max_n | 10000 |
min_r | 0 |
max_r | 10000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
L'outil gratuit du navigateur et l'API payante partagent une seule fonction pure, de sorte que les démonstrations en classe et les pipelines automatisés ne divergent jamais sur la même paire.
Comment les permutations avec répétition sont définies
Les bornes déclarées maintiennent n entre un et dix mille et r entre zéro et dix mille afin que la latence au pire cas reste adaptée à un outil gratuit dans le navigateur et à un chemin Worker léger, tout en couvrant les besoins de concours, de classe et de pipelines pour de grands décomptes exacts.
Ce que vous envoyez et ce que vous recevez en retour
Le nombre de symboles n doit être un entier de un à dix mille inclus ; la longueur r doit être un entier de zéro à dix mille inclus. Les messages d'erreur nomment le champ en cause et la règle enfreinte afin que les clients de formulaire et les scripts puissent corriger l'entrée sans deviner. En cas de succès, la réponse inclut toujours le n et le r normalisés, count et value comme la même chaîne décimale exacte de n à la puissance r, et une courte chaîne formula telle que cinq caret trois pour l'affichage. Fournissez un entier obligatoire n sous le champ n (aliases symbols ou alphabet) et un entier obligatoire r sous le champ r (aliases length ou k). Les champs manquants, les non-entiers, les décimaux, n inférieur à un et tout r négatif sont rejetés avec invalid_input et ne sont pas facturés. Vérifications d'exemple : n égal à deux et r égal à trois donne count huit ; n égal à cinq et r égal à deux donne count vingt-cinq ; n égal à dix et r égal à zéro donne count un ; n égal à un et r égal à toute longueur valide donne count un ; n égal à zéro donne invalid_input car la taille de l'alphabet est inférieure à un ; r égal à moins un donne invalid_input. Le contrat est un JSON stable, adapté aux tests unitaires, aux démonstrations en classe et aux pipelines par lots. Le prix des appels API réussis est la base publiée de $0.002 par élément ; les échecs de validation ne consomment pas le solde prépayé.
Où le dénombrement n à la puissance r apparaît dans le travail réel
Comme cette capacité est un moteur de parse pur, le tarif API est la base publiée de $0.002 par élément réussi et l'échec de validation ne consomme pas le solde.
Cas d'intégration
Fixtures de concours et de devoirs
Générez des décomptes exacts ordonnés avec répétition pour les problèmes d'olympiade, les exercices de mathématiques discrètes et les corrigés automatisés.