Calculateur de primorielle

La primorielle d'un entier non négatif n, notée n#, est le produit de tout nombre premier inférieur ou égal à n. C'est l'analogue premier de la factorielle : au lieu de multiplier tous les entiers positifs jusqu'à n, on multiplie seulement les premiers qui tombent à ou en dessous de cette borne. Les primorielles apparaissent dans des preuves sur les écarts entre premiers, des constructions de bornes liées aux nombres hautement composés, des heuristiques de primalité et des problèmes de concours qui ont besoin du produit des premiers premiers sans dérive en virgule flottante. Ce calculateur crible les premiers jusqu'à n et les multiplie avec une arithmétique BigInt exacte, renvoyant la chaîne décimale complète avec la liste des premiers et leur nombre. Pour n inférieur à deux il n'y a aucun premier à ou en dessous de n, donc le produit vide vaut un par la convention multiplicative standard. Les entrées négatives et non entières sont rejetées avec une erreur de validation claire plutôt qu'une mauvaise réponse silencieuse.

Comment la primorielle n# est définie et calculée

La primorielle n# est définie comme le produit de tous les nombres premiers p tels que p est inférieur ou égal à n. Lorsque n vaut zéro ou un, cet ensemble est vide et le produit vide vaut un, tout comme la factorielle de zéro est définie comme un.

Pour n égal à deux le seul premier est deux et la primorielle vaut deux ; pour n égal à trois les premiers sont deux et trois et le produit vaut six ; pour n égal à quatre les premiers restent seulement deux et trois donc la primorielle reste six ; pour n égal à cinq le produit devient trente ; pour n égal à sept il vaut deux cent dix ; pour n égal à onze il vaut deux mille trois cent dix.

La croissance est super-exponentielle au sens des chiffres car chaque nouveau premier multiplie le produit courant par un facteur plus grand, et d'après le théorème des nombres premiers le logarithme de n# est de l'ordre de n, donc la longueur en chiffres croît à peu près comme n sur le logarithme naturel de dix.

Cette implémentation n'utilise jamais d'approximation en virgule flottante, de tests probabilistes de primalité pour la plage du crible ni de tables externes : elle exécute un crible classique d'Ératosthène jusqu'à n, collecte chaque drapeau premier qui reste vrai et multiplie ces premiers dans l'ordre avec BigInt pour que chaque chiffre intermédiaire et final soit exact en entier.

Le chemin est entièrement déterministe — pas de graines aléatoires, pas d'horloges, pas de réseau et pas de dérive de modèle —, donc le même n produit toujours la même chaîne, la même liste de premiers et le même nombre.

Où les primorielles exactes apparaissent dans le travail réel

Les éducateurs en cryptographie et sécurité illustrent parfois comment les produits de petits premiers se comportent sous arithmétique modulaire et comment les primorielles se lient aux bornes de primalité ; une vérification exacte de chaîne confirme les exemples de diapositive avant que les étudiants n'implémentent leurs propres cribles. Les démos produit et la préparation d'entretiens montrent souvent une courte table de primorielles à côté d'une table de factorielles pour que les candidats contrastent les deux produits ; calculer n# en un appel maintient les démos interactives alignées sur les manuels.

Si vous avez plus tard besoin du produit des k premiers premiers comme suite indexée séparée, du seul comptage des premiers, de la factorielle ou de la primalité d'un grand entier unique, traitez-les comme des intentions de recherche séparées plutôt que de surcharger cette page de calculateur de primorielle.