Calculadora de primorial
Multiplique todos los primos hasta n y obtenga el resultado exacto: 10# es 2 × 3 × 5 × 7, es decir, 210, junto con la lista de primos y cuántos hay. Todas las cifras son exactas para cualquier n hasta 10000. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Entero no negativo como cota superior
- 10
- Valor
- 210
- Producto
- 210
- Primos
- 2, 3, 5, 7
- Cantidad
- 4
El primorial de un entero no negativo n, escrito n#, es el producto de todo número primo menor o igual que n. Es el análogo primo del factorial: en lugar de multiplicar todos los enteros positivos hasta n, multiplica solo los primos que caen en o por debajo de ese límite. Los primoriales aparecen en demostraciones sobre huecos entre primos, construcciones de cotas relacionadas con números altamente compuestos, heurísticas de primalidad y problemas de concurso que necesitan el producto de los primeros primos sin deriva en coma flotante. Esta calculadora criba los primos hasta n y los multiplica con aritmética BigInt exacta, devolviendo la cadena decimal completa junto con la lista de primos y su conteo. Para n menor que dos no hay primos en o por debajo de n, así que el producto vacío es uno por la convención multiplicativa estándar. Las entradas negativas y no enteras se rechazan con un error de validación claro en lugar de una respuesta incorrecta silenciosa.
Cómo se define y calcula el primorial n#
El primorial n# se define como el producto de todos los números primos p tales que p es menor o igual que n. Cuando n es cero o uno, ese conjunto está vacío y el producto vacío vale uno, igual que el factorial de cero se define como uno.
Para n igual a dos el único primo es dos y el primorial es dos; para n igual a tres los primos son dos y tres y el producto es seis; para n igual a cuatro los primos siguen siendo solo dos y tres, así que el primorial permanece en seis; para n igual a cinco el producto pasa a ser treinta; para n igual a siete es doscientos diez; para n igual a once es dos mil trescientos diez.
El crecimiento es super-exponencial en el sentido de dígitos porque cada nuevo primo multiplica el producto acumulado por un factor mayor, y por el teorema de los números primos el logaritmo de n# es del orden de n, de modo que la longitud en dígitos crece aproximadamente como n sobre el logaritmo natural de diez.
Esta implementación nunca usa aproximación en coma flotante, pruebas probabilísticas de primalidad para el rango de la criba ni tablas externas: ejecuta una criba clásica de Eratóstenes hasta n, recoge cada bandera prima que permanece verdadera y multiplica esos primos en orden con BigInt para que cada dígito intermedio y final sea exacto como entero.
La ruta es totalmente determinista —sin semillas aleatorias, sin relojes, sin red y sin deriva de modelo—, así que el mismo n siempre produce la misma cadena, la misma lista de primos y el mismo conteo.
Dónde aparecen los primoriales exactos en el trabajo real
Educadores de criptografía y seguridad a veces ilustran cómo se comportan los productos de primos pequeños bajo aritmética modular y cómo se relacionan los primoriales con cotas de primalidad; una comprobación exacta de cadena confirma los ejemplos de diapositiva antes de que los estudiantes implementen sus propias cribas.
Las demos de producto y la preparación de entrevistas a menudo muestran una tabla breve de primoriales junto a una de factoriales para que los candidatos contrasten ambos productos; calcular n# en una sola llamada mantiene las demos interactivas alineadas con los libros de texto.
Si más adelante necesita el producto de los primeros k primos como secuencia indexada separada, el conteo de primos solo, el factorial o la primalidad de un solo entero grande, trátelos como intenciones de búsqueda separadas en lugar de sobrecargar esta página de calculadora de primorial.
Qué puede hacer con ella
Enseñar primos frente a factoriales
Muestre a los estudiantes cómo n# multiplica solo los primos ≤ n mientras n! multiplica cada entero, con cadenas exactas para que los términos grandes sigan correctos junto a las tablas del libro.
Comprobaciones de sanidad de bibliotecas y cribas
Confirme implementaciones de criba, ayudantes de producto de primos o bibliotecas de teoría de números frente a un primorial BigInt de confianza antes de publicar código numérico.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el primorial n#?
n# es el producto de todos los números primos menores o iguales que n. Por ejemplo 5# = 2×3×5 = 30 y 10# = 2×3×5×7 = 210. Esta herramienta devuelve ese producto exacto como cadena decimal.
¿En qué se diferencia el primorial del factorial?
El factorial n! multiplica cada entero positivo hasta n. El primorial n# multiplica solo los primos ≤ n. Ambos usan la convención de producto vacío de 1 cuando no hay nada que multiplicar (0! = 1 y 0# = 1# = 1).
¿Por qué el producto es una cadena en lugar de un número?
Los primoriales superan con rapidez los enteros seguros de JavaScript. Las cadenas decimales conservan cada dígito exacto para n grande.
¿Qué ocurre si n es negativo o no es entero?
El primorial aquí solo está definido para enteros no negativos; los negativos y los decimales se rechazan y no se cobran.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/primorial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/primorial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/primorial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/primorial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/primorial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 10
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.primorial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
min_n | 0 |
max_n | 10000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La herramienta gratuita del navegador y la API de pago comparten una sola función pura, de modo que las demos de clase y las canalizaciones automáticas nunca divergen en silencio sobre el mismo n.
Cómo se define y calcula el primorial n#
Devolver el producto como cadena decimal mantiene honestos a los consumidores JSON: los primoriales grandes salen del rango de enteros seguros de JavaScript con rapidez, y un tipo numérico redondearía en silencio. Los límites mantienen n entre cero y diez mil para que la latencia en el peor caso siga siendo adecuada para una herramienta gratuita en el navegador y un camino Worker ligero, cubriendo a la vez necesidades de concurso, aula y canalización de productos exactos de primos grandes.
Qué envía usted y qué recibe de vuelta
El error para n negativo indica que el primorial está definido para enteros no negativos, de modo que clientes de formulario y scripts pueden corregir la entrada sin adivinar. En caso de éxito la respuesta incluye siempre el n normalizado, product y value como el n# exacto escrito en decimal (ambos campos llevan la misma cadena de dígitos por comodidad), primes como la lista ordenada de factores primos multiplicados, y count como la longitud de esa lista, que equivale a π(n) para n al menos cero. Proporcione un entero no negativo obligatorio bajo el campo n, o los alias number, value o limit. El valor debe ser un entero de cero a diez mil inclusive; los campos ausentes, no enteros, decimales y cualquier n menor que cero se rechazan con invalid_input y no se cobran. Comprobaciones de ejemplo: n igual a cero produce producto uno y una lista de primos vacía; n igual a cinco produce producto treinta y primos dos, tres, cinco; n igual a diez produce producto doscientos diez; n igual a trece produce producto treinta mil treinta; n igual a menos uno produce invalid_input; n igual a tres punto cinco produce invalid_input. El precio de las llamadas API exitosas es la base publicada de $0.002 por ítem; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde aparecen los primoriales exactos en el trabajo real
Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem exitoso y la validación fallida no consume saldo.
Casos de integración
Fixtures de concurso y deberes
Genere cadenas decimales exactas de n# y listas de factores primos para problemas olímpicos, ejercicios de programación y claves de respuesta automáticas que rechazan la deriva en coma flotante.