Secuencia de Sylvester

La secuencia de Sylvester es la sucesión entera que comienza en dos y luego construye cada término posterior como uno más el producto de todos los anteriores. De forma equivalente, cada sucesor cumple s sub k más uno igual a s sub k al cuadrado menos s sub k más uno, lo que produce el prefijo familiar dos, tres, siete, cuarenta y tres, mil ochocientos siete, y así sucesivamente. La secuencia crece tan deprisa que los tipos de coma flotante ordinarios e incluso los enteros de ancho fijo fallan en pocos pasos, de modo que esta calculadora usa aritmética BigInt y devuelve cada valor como cadena decimal que conserva cada dígito. Usted aporta un índice entero no negativo n bajo el convenio base cero donde n igual a cero devuelve el primer término dos; los índices negativos se rechazan con un error de validación claro en lugar de una respuesta incorrecta silenciosa. Cuando necesita más de un solo término, active el indicador opcional list para recibir el prefijo completo desde s0 hasta sn como un array de cadenas decimales.

Cómo se define y se calcula la secuencia de Sylvester

Usamos la indexación estándar base cero de Sylvester con s0 igual a dos. Cada término posterior se define de modo que s sub n es igual a uno más el producto de s0 hasta s sub n menos uno. Esa regla de producto es exactamente equivalente a la recurrencia compacta s sub k más uno igual a s sub k por la cantidad s sub k menos uno, más uno, que se reordena como s al cuadrado menos s más uno.

Bajo esa regla s1 es tres, s2 es siete, s3 es cuarenta y tres, s4 es mil ochocientos siete, s5 es tres millones doscientos sesenta y tres mil cuatrocientos cuarenta y tres, y los términos siguientes explotan de forma doblemente exponencial. La implementación nunca aproxima con potencias o logaritmos en coma flotante; en su lugar recorre la recurrencia con multiplicaciones BigInt desde el primer término hasta n, lo que garantiza que cada dígito sea exacto incluso cuando el resultado tiene miles de decimales.

El camino es plenamente determinista —sin semillas aleatorias, sin relojes, sin red y sin deriva de modelo—, de modo que el mismo n siempre produce la misma cadena y la misma secuencia opcional.

Dónde aparecen los números de Sylvester en el trabajo real

Los cursos de teoría de números presentan la secuencia de Sylvester como ejemplo canónico de una recurrencia producto-más-uno y como fuente de enteros coprimos por pares cuyos recíprocos forman una expansión codiciosa en fracciones egipcias de uno. Las demos de producto, las entrevistas de código y las entradas de blog sobre relaciones de recurrencia suelen mostrar una tabla corta de Sylvester junto al crecimiento de Fibonacci o factorial; listar s0 hasta sn en una sola llamada mantiene honestas las demos interactivas sin reimplementar el bucle en cada lenguaje.

Las notas de investigación sobre fracciones egipcias, coprimalidad de la secuencia de Sylvester y crecimiento doblemente exponencial se benefician de una sola implementación de referencia compartida. Si más adelante necesita términos de Sylvester modulares, certificados de mcd por pares o expansiones en fracciones egipcias de un racional, trátelos como intenciones de búsqueda separadas en lugar de sobrecargar el aterrizaje de esta calculadora.