Calculadora da sequência de Ulam

A sequência de Ulam é a sucessão de inteiros que começa com um e dois e, em seguida, acrescenta repetidamente o menor inteiro que pode ser escrito como soma de dois termos anteriores distintos de exatamente uma forma. Essa regra de soma única é fácil de enunciar e surpreendentemente rica: os primeiros termos parecem quase aritméticos, depois surgem lacunas e agrupamentos irregulares que ainda não têm uma forma fechada simples. Estudantes encontram a sequência na teoria dos números recreativa, concursos de programação pedem os primeiros n termos ou o n-ésimo número de Ulam, e notas de pesquisa ainda estudam sua densidade. Esta capacidade aceita um inteiro positivo n e devolve o prefixo ordenado de comprimento n, o último termo e uma string de fórmula curta que reafirma a definição.

Como a sequência de Ulam é definida e por que somas únicas importam

Stanisław Ulam definiu a sucessão de modo que os dois primeiros termos sejam um e dois, e cada termo posterior seja o menor inteiro estritamente maior que o anterior que admite exatamente uma representação como soma de dois membros anteriores distintos.

Sob essa regra, três é um mais dois (única), quatro é um mais três (única; dois mais dois não vale porque os somandos devem ser distintos), cinco é ao mesmo tempo um mais quatro e dois mais três (duas formas, então é omitido), seis é apenas dois mais quatro entre os pares de termos anteriores, e a sequência continua oito, onze, treze, dezesseis, dezoito, e assim por diante.

O filtro de unicidade é o que separa os números de Ulam do conjunto de todas as somas de pares anteriores: muitos candidatos têm duas ou mais representações e são rejeitados mesmo quando superam o máximo atual. Não se conhece uma fórmula simples para o n-ésimo termo, por isso um cálculo confiável percorre candidatos para cima, conta pares não ordenados entre os termos já aceitos e aceita o primeiro com contagem de pares exatamente um.

Esse procedimento é totalmente determinístico: o mesmo n sempre produz a mesma lista ordenada, sem sementes aleatórias, relógios, deriva em ponto flutuante ou chamadas de rede. Quando você só precisa do valor n-ésimo, leia o campo last da resposta; quando precisar de todo o histórico para um slide de aula ou um corretor de concurso, use o array sequence como está.

Onde a sequência de Ulam é útil

Cursos de teoria dos números e clubes de matemática recreativa usam uma calculadora da sequência de Ulam para que aprendizes gerem um prefixo confiável sem contar à mão as somas de pares de cada candidato. Autores de concursos de programação e corretores LMS precisam de um oráculo determinístico que marque como errada qualquer lista que inclua cinco ou sete entre os primeiros termos, e que rejeite n menor que um em vez de devolver um sucesso vazio que um corretor com bug possa tratar como correto.

Cadernos de pesquisa que exploram lacunas, conjecturas de densidade ou comparações com bases aditivas relacionadas se beneficiam de uma implementação de referência compartilhada em vez de reescrever o laço de soma única em cada linguagem. Demos de produto e perguntas de entrevista sobre bases aditivas podem mostrar uma tabela curta ao lado do crescimento de Fibonacci ou Sylvester sem fingir que existe forma fechada.

Mantenha n dentro do limite publicado, fixe o array sequence nos testes e obtenha prefixos de Ulam reproduzíveis para tarefas, plugins CMS e workers de borda sem levantar infraestrutura de matemática simbólica própria. Se depois precisar só do termo n-ésimo sob outra convenção de indexação, sequências tipo Ulam modulares ou contagens de unicidade para bases arbitrárias, trate-os como intenções de busca distintas em vez de sobrecarregar esta landing.