Coeficientes de polinômio
Cole um polinômio e receba os coeficientes em ordem, da maior potência ao termo independente: 3x^2 + 2x − 5 dá 3, 2 e −5, e x^3 − 4x dá 1, 0, −4 e 0. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Expressão
- 3x^2 + 2x - 5
- Variável
- x
- Grau
- 2
- Coeficientes
- 3, 2, -5
- Forma padrão
- 3x^2+2x-5
Transformar um polinômio escrito em um vetor limpo de coeficientes é o primeiro passo em quase qualquer pipeline de álgebra computacional: localizadores de raízes, divisão sintética, fórmulas de Vieta, divisão longa e scripts de correção esperam números em ordem fixa, não texto algébrico livre. Estudantes ainda entregam 3x^2 + 2x − 5; a automação precisa de [3, 2, −5] da potência mais alta até a constante. Este extrator de coeficientes polinomiais aceita uma string de expressão univariada, combina termos semelhantes e devolve a lista ordenada de coeficientes junto com o grau, os termos não nulos e uma reescrita compacta em forma padrão.
O que a lista de coeficientes significa e como a ordenação funciona
Depois de combinar termos semelhantes há exatamente um coeficiente por potência, incluindo zeros para potências intermediárias ausentes. A ordem do maior para o menor coincide com a divisão sintética, muitos livros didáticos e as ferramentas polinomiais do KIT que já documentam os coeficientes do dividendo assim. Arrays ascendentes (constante primeiro) usados por algumas bibliotecas científicas são simplesmente o reverso; clientes que precisem desse layout invertem o array após a chamada.
O grau é a maior potência com coeficiente não nulo; o polinômio zero é reportado como grau zero com coeficientes [0]. Os coeficientes podem ser inteiros ou decimais; o ruído de ponto flutuante próximo de inteiros é limpo para saída estável legível por máquina. A resposta também lista apenas os termos não nulos com campos de potência explícitos quando você precisa de uma visão esparsa sem varrer zeros, enquanto o array denso de coefficients permanece o contrato principal para pipelines numéricos.
Contrato de entrada, sintaxe aceita e comportamento de erro
Escreva o polinômio na forma expandida: sinal inicial opcional, termos unidos por mais ou menos, espaços opcionais, asterisco opcional entre coeficiente e variável, e potências escritas como ^n ou **n. Exemplos que têm sucesso incluem 3x^2+2x-5, x^3 - 4x + 1, -2.5y^2+y e a constante 7. Strings vazias e expression ausente falham da mesma forma e não são faturadas.
O grau é limitado por segurança do isolate para que strings hostis de megabytes não forcem vetores densos enormes. Combine este extrator com capacidades posteriores de raízes, multiplicação ou divisão polinomial alimentando os coeficientes diretamente nesses contratos de array.
Onde um analisador de coeficientes polinomiais agrega valor
Salas de aula e plataformas de tutoria usam um extrator de coeficientes polinomiais para que o aluno cole a expressão escrita no papel e veja a lista ordenada usada na divisão sintética ou no teorema da raiz racional sem inserir manualmente zeros para potências ausentes. Geradores de provas e autoavaliadores LMS precisam de um oráculo determinístico que marque como errado um colar multivariável ou um operador pendente em vez de silenciar termos.
Cadernos de engenharia frequentemente recebem polinômios de front-ends simbólicos ou OCR como texto e devem normalizá-los antes de avaliação numérica, filtragem ou projeto de controle que só aceitam arrays de coeficientes. Validação falha não consome saldo. Mantenha as expressões expandidas, fixe os vetores de coeficientes nos testes e você obtém análise reprodutível para lições, plugins LMS e edge workers sem montar um sistema completo de álgebra computacional próprio.
Casos de uso
Checagens em sala e lição de casa
Permita que o aluno cole 3x^2+2x-5 e verifique a lista de coeficientes do maior para o menor [3,2,-5] antes da divisão sintética ou da graficagem.
Cadernos e pipelines numéricos
Converta strings de expressão de OCR ou exportação CAS em arrays de coeficientes para localizadores de raízes, filtros e APIs polinomiais do KIT.
Perguntas frequentes
As potências ausentes são preenchidas com zero?
Sim. O array denso coefficients sempre tem comprimento degree+1. Para x^3-4x você obtém [1,0,-4,0] para que zeros intermediários e a constante fiquem explícitos.
Qual letra de variável é usada?
Se a expressão contém uma única letra, essa letra é usada. Constantes puras usam x por padrão. Passe variable opcional para exigir um nome específico.
Os termos semelhantes são somados antes de listar os coeficientes?
Sim. Os termos com a mesma potência são somados primeiro, então fica um único coeficiente por potência. Você também recebe a forma padrão compacta do polinômio para copiar nas suas anotações.
Quais expressões não são aceitas?
As que têm duas letras diferentes, parênteses, divisão, sinal de igual ou notação científica como 1e3 são recusadas com uma mensagem que aponta o problema. Escreva o polinômio expandido, por exemplo x^3 - 4x + 1.
Qual é o grau do polinômio nulo?
Aqui ele aparece com grau 0 e uma lista de coeficientes formada por um único 0. Dessa forma, a quantidade de coeficientes é sempre o grau mais um.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-coefficients \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"expression":"3x^2 + 2x - 5"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-coefficients", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"expression": "3x^2 + 2x - 5"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-coefficients",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"expression": "3x^2 + 2x - 5"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-coefficients", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"expression":"3x^2 + 2x - 5"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"expression":"3x^2 + 2x - 5"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-coefficients", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"expression": "3x^2 + 2x - 5"
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_coefficients",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Entrada vazia, produtos multivariáveis e caracteres não suportados falham com invalid_input em vez de inventar um vetor parcial.
O que a lista de coeficientes significa e como a ordenação funciona
Um polinômio univariado é uma soma finita de termos a_k · v^k em que o expoente k é um inteiro não negativo e o coeficiente a_k é um número real. Este endpoint devolve essa sequência do grau mais alto até a constante: para 3x^2 + 2x − 5 a lista é [3, 2, −5]; para x^3 − 4x a lista é [1, 0, −4, 0] porque as posições de x^2 e da constante aparecem como zeros, de modo que o comprimento do vetor é sempre o grau mais um.
Contrato de entrada, sintaxe aceita e comportamento de erro
Envie um corpo JSON com o campo de string obrigatório expression (aliases poly, polynomial, expr, input). A variable opcional (aliases var, v, letter) fixa a letra quando você quiser um nome explícito; se omitida, usa-se a única letra encontrada na expressão, ou x para constantes puras. Expressões multivariáveis, produtos de duas letras diferentes em um termo, parênteses, divisão, sinais de igualdade e notação científica como 1e3 são rejeitados com invalid_input e uma mensagem que nomeia o problema. Em caso de sucesso o corpo ecoa expression e variable, informa degree, coefficients como o array denso do maior para o menor, terms como pares de potência e coeficiente em posições não nulas, e standard_form como string compacta de exibição sem espaços.
Onde um analisador de coeficientes polinomiais agrega valor
Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Provas e autoavaliação LMS
Normalize respostas polinomiais em texto livre em vetores densos de coeficientes e rejeite expressões multivariáveis ou malformadas com invalid_input.
Perguntas técnicas
Como extrair coeficientes de uma expressão polinomial?
Envie expression como string, por exemplo 3x^2+2x-5. A API devolve coefficients ordenados do grau mais alto à constante, além de degree, termos não nulos e standard_form.
Qual sintaxe não é suportada?
Parênteses, divisão, produtos multivariáveis, equações e notação científica são rejeitados com invalid_input. Use apenas a forma univariada expandida.
Quanto custa o extrator de coeficientes polinomiais?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é faturada.