Polinômio a partir de raízes
Transforme raízes conhecidas em um polinômio na forma padrão: as raízes 1, 2 e 3 dão (x − 1)(x − 2)(x − 3), que se expande em x³ − 6x² + 11x − 6. Repita uma raiz para que ela seja dupla. Grátis no seu navegador.
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Uma calculadora de polinômio a partir de raízes transforma uma lista de zeros reais no vetor de coeficientes expandidos de um polinômio univariado. Informe as raízes r1 até rn e um coeficiente líder a opcional não nulo (padrão um, polinômio mônico). A multiplicidade se codifica repetindo uma raiz na lista.
Das raízes aos coeficientes: fatores lineares e expansão
Todo polinômio univariado não nulo sobre os reais se fatora (salvo uma escala líder) em fatores lineares por suas raízes reais e quadráticas irredutíveis por pares conjugados complexos. Multiplicar por um coeficiente líder a não nulo escala uniformemente cada coeficiente expandido e fixa o coeficiente de maior grau igual a a quando o grau formal é n.
A multiplicidade não é um campo separado: liste a mesma raiz duas vezes para uma raiz dupla, três vezes para uma tripla, e assim por diante, como os livros escrevem (x menos dois) ao quadrado como (x menos dois) vezes (x menos dois). A expansão avança por multiplicações sucessivas. Comece pela constante um, substitua a lista atual de coeficientes pelo seu produto com o próximo fator linear (x menos ri)—uma convolução de deslocamento e subtração de comprimento um—e após consumir todas as raízes escale por a.
A sequência resultante é armazenada com o termo constante primeiro para alinhar-se a ferramentas irmãs de soma, multiplicação e divisão de polinômios. O grau formal é o maior índice cujo valor absoluto supera um épsilon minúsculo, de modo que o pó flutuante não infla o grau reportado. Verificações clássicas: raízes um e dois com líder um dão x ao quadrado menos três x mais dois; raízes um e menos um com líder dois dão dois x ao quadrado menos dois; uma única raiz zero dá o monômio x.
Sala de aula, automação e diferença dos localizadores de raízes
A intenção de busca de uma calculadora de polinômio a partir de raízes é a inversa de um localizador de raízes de polinômios: aprendizes e scripts já conhecem os zeros e precisam da forma padrão expandida, não o contrário. Geradores de exames amostram raízes inteiras, expandem uma vez e guardam tanto o enunciado fatorado quanto a chave de coeficientes. Testes unitários de bibliotecas polinomiais estudantis precisam de produtos conhecidos de fatores lineares mais rejeições deliberadas de lista vazia.
Demos de controle e sinal que colocam polos ou zeros em locais de projeto expandem o polinômio característico da mesma forma sem importar um CAS completo. Prefira esta capacidade quando sua fonte da verdade é uma lista de raízes; prefira o irmão localizador de raízes quando já tem o vetor de coeficientes. Mantenha magnitudes e contagens de raízes dentro dos limites publicados para que multiplicações sucessivas não transbordem.
Verificações de ida e volta são fáceis quando todas as raízes são reais e listadas com multiplicidade: expanda aqui, alimente coeficientes a um localizador de raízes e compare as raízes recuperadas com a mesma política de arredondamento. A página atende quem busca polinômio a partir de raízes, construir polinômio a partir de zeros, expandir fatores lineares a coeficientes e polinômio mônico a partir de raízes online.
Casos de uso
Verificação de lição ao expandir fatores lineares
Os alunos informam raízes conhecidas e coeficiente líder opcional, e comparam coeficientes expandidos à mão e a string na forma padrão com um resultado determinístico antes de entregar.
Gabaritos de exame e autoavaliação LMS
Gere polinômios mônicos ou escalados a partir de listas de raízes amostradas para que corretores tenham chaves de coeficientes estáveis sem software simbólico.
Perguntas frequentes
Em que ordem ficam os coeficientes?
Termo constante primeiro: [a0, a1, a2] significa a0 + a1·x + a2·x².
Como codifico uma raiz repetida?
Liste o mesmo valor várias vezes. Uma raiz dupla em 2 é roots [2, 2], que expande (x−2)².
Como uso um coeficiente líder diferente de 1?
Informe-o como coeficiente líder e todos os coeficientes expandidos são multiplicados por ele. Com as raízes 1 e −1 e coeficiente líder 2, o resultado é 2x² − 2 em vez de x² − 1.
Que polinômio sai de uma única raiz igual a 0?
Sai o monômio x, de grau 1. Cada raiz contribui com um fator (x menos a raiz), então a raiz 0 contribui simplesmente com x.
Quantas raízes posso informar?
Até sessenta e quatro raízes reais, cada uma um número finito. O grau do polinômio resultante é igual ao número de raízes, contando as repetidas.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"roots":[1,2,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"roots": [
1,
2,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"roots": [
1,
2,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"roots":[1,2,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"roots":[1,2,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"roots": [
1,
2,
3
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_from_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Listas de raízes vazias e um coeficiente líder zero falham com invalid_input em vez de inventar uma constante silenciosa ou um grau colapsado. O caminho é aritmética pura e determinística—sem rede, sem sementes aleatórias, sem dependência de relógio—de modo que o executor gratuito do navegador e a API pré-paga concordam após o arredondamento fixo a doze decimais em cada chamada.
Contrato de entrada, campos de resposta e erros
Envie um corpo JSON com roots obrigatório, um array não vazio de no máximo sessenta e quatro números finitos, e leading opcional (aliases a, leading_coefficient, scale) com padrão um. Roots também aceita aliases zeros, root_list e r. Cada raiz pode chegar como número JSON ou como string numérica estrita; aceita-se uma string de array codificada em JSON para clientes que só enviam campos de texto. Os valores absolutos devem permanecer dentro de um trilhão para que produtos intermediários sigam finitos em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. Em sucesso o corpo ecoa roots e leading arredondados, define coefficients como a lista expandida com constante primeiro, coefficients_high_to_low como os mesmos valores invertidos para telas de maior potência primeiro, degree e root_count como inteiros, factors_str como produto compacto de fatores lineares com a escala líder prefixada quando não é um, polynomial como forma expandida legível com sinais sensatos e coeficientes unitários omitidos, formula como identidade breve, message como resumo de grau em uma linha, e steps como linhas de substituição ordenadas para goldens e capturas de aula. Validação falha—roots ausente, arrays vazios, não-arrays, entradas não finitas, listas maiores que o máximo publicado, valores fora dos limites absolutos, leading zero ou coeficientes intermediários não finitos—retorna invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um US$ 0,002 fixo por requisição bem-sucedida com unidade item.
Sala de aula, automação e diferença dos localizadores de raízes
Plataformas de tutoria usam este endpoint para que os alunos verifiquem expansões manuais de (x menos três)(x mais um) contra uma lista de coeficientes determinística. Tarefas que falham com invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém baratos scripts exploratórios quando se enviam de propósito listas vazias ou um coeficiente líder zero.
Casos de integração
Testes unitários de bibliotecas polinomiais
Produza expansões conhecidas de ∏(x−ri) mais rejeições de lista vazia e leading zero para fixtures de kata de código e integração contínua.
Perguntas técnicas
Como construo um polinômio a partir de uma lista de raízes?
Envie roots como um array não vazio de números finitos e leading opcional (padrão 1). A API expande leading·∏(x−ri) e devolve coeficientes com constante primeiro mais uma string polinomial legível.
E se leading for zero ou roots estiver vazio?
Ambos são invalid_input. Um coeficiente líder zero colapsaria o grau; uma lista de raízes vazia é dado de fatores ausente, não um modo só-constante documentado.
Quanto custa a calculadora de polinômio a partir de raízes?
A ferramenta do navegador é grátis. Chamadas API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.