Polinomio dalle radici
Trasformi radici note in un polinomio in forma standard: le radici 1, 2 e 3 danno (x − 1)(x − 2)(x − 3), che si sviluppa in x³ − 6x² + 11x − 6. Ripeta una radice per renderla doppia. Gratis nel suo browser.
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Una calcolatrice di polinomio dalle radici trasforma un elenco di zeri reali nel vettore di coefficienti sviluppati di un polinomio univariato. Inserisca le radici r1 fino a rn e un coefficiente direttivo a opzionale non nullo (predefinito uno, polinomio monico). La molteplicità si codifica ripetendo una radice nell'elenco.
Dalle radici ai coefficienti: fattori lineari ed espansione
Ogni polinomio univariato non nullo sui reali si fattorizza (a meno di una scala direttiva) in fattori lineari per le sue radici reali e in quadratiche irriducibili per le coppie coniugate complesse. Moltiplicare per un coefficiente direttivo a non nullo scala uniformemente ogni coefficiente sviluppato e fissa il coefficiente di grado massimo uguale ad a quando il grado formale è n.
La molteplicità non è un campo separato: elenchi la stessa radice due volte per una radice doppia, tre volte per una tripla, e così via, come i libri scrivono (x meno due) al quadrato come (x meno due) per (x meno due). L'espansione procede per moltiplicazioni successive. Parta dalla costante uno, sostituisca l'elenco corrente di coefficienti con il suo prodotto con il fattore lineare successivo (x meno ri)—una convoluzione di scorrimento e sottrazione di lunghezza uno—e dopo aver consumato tutte le radici scali per a.
La sequenza risultante è memorizzata con termine costante per primo per allinearsi agli strumenti fratelli di somma, moltiplicazione e divisione di polinomi. Il grado formale è l'indice più alto il cui valore assoluto supera un epsilon minuscolo, così la polvere floating non gonfia il grado riportato. Controlli classici: radici uno e due con direttivo uno danno x al quadrato meno tre x più due; radici uno e meno uno con direttivo due danno due x al quadrato meno due; una sola radice zero dà il monomio x.
Aula, automazione e differenza dai cercatori di radici
L'intento di ricerca di una calcolatrice di polinomio dalle radici è l'inverso di un cercatore di radici di polinomi: discenti e script conoscono già gli zeri e necessitano della forma standard sviluppata, non il contrario. I generatori di esami campionano radici intere, sviluppano una volta e memorizzano sia il testo fattorizzato sia la chiave dei coefficienti. I test unitari di librerie polinomiali studentesche necessitano di prodotti noti di fattori lineari più rifiuti deliberati di elenco vuoto.
Demo di controllo e segnale che collocano poli o zeri in posizioni di progetto sviluppano il polinomio caratteristico allo stesso modo senza importare un CAS completo. Preferisca questa capacità quando la Sua fonte di verità è un elenco di radici; preferisca il fratello cercatore di radici quando ha già il vettore di coefficienti. Mantenga magnitudini e conteggi di radici entro i limiti pubblicati affinché le moltiplicazioni successive non trabocchino.
I controlli andata e ritorno sono facili quando tutte le radici sono reali e elencate con molteplicità: sviluppi qui, alimenti i coefficienti a un cercatore di radici e confronti le radici recuperate con la stessa politica di arrotondamento. La pagina intercetta chi cerca polinomio dalle radici, costruire polinomio dagli zeri, sviluppare fattori lineari in coefficienti e polinomio monico dalle radici online.
Casi d'uso
Controllo compiti per sviluppare fattori lineari
Gli studenti inseriscono radici note e coefficiente direttivo opzionale, poi confrontano i coefficienti sviluppati a mano e la stringa in forma standard con un risultato deterministico prima di consegnare.
Chiavi d'esame e valutazione automatica LMS
Generi polinomi monici o scalati da elenchi di radici campionati affinché i correttori dispongano di chiavi di coefficienti stabili senza software simbolico.
Domande frequenti
In che ordine sono i coefficienti?
Termine costante per primo: [a0, a1, a2] significa a0 + a1·x + a2·x².
Come codifico una radice ripetuta?
Elenchi lo stesso valore più volte. Una radice doppia in 2 è roots [2, 2], che sviluppa (x−2)².
Come uso un coefficiente direttore diverso da 1?
Lo indichi come coefficiente direttore e tutti i coefficienti sviluppati vengono moltiplicati per esso. Con le radici 1 e −1 e coefficiente direttore 2, il risultato è 2x² − 2 invece di x² − 1.
Che polinomio si ottiene da una sola radice uguale a 0?
Il monomio x, di grado 1. Ogni radice porta un fattore (x meno la radice), quindi la radice 0 porta semplicemente x.
Quante radici posso inserire?
Fino a sessantaquattro radici reali, ciascuna un numero finito. Il grado del polinomio ottenuto è uguale al numero di radici, contando quelle ripetute.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"roots":[1,2,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"roots": [
1,
2,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"roots": [
1,
2,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"roots":[1,2,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"roots":[1,2,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"roots": [
1,
2,
3
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_from_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Elenchi di radici vuoti e un coefficiente direttivo zero falliscono con invalid_input invece di inventare una costante silenziosa o un grado collassato. Il percorso è aritmetica pura e deterministica—senza rete, senza semi casuali, senza orologio—così l'esecutore gratuito del browser e l'API prepagata concordano dopo l'arrotondamento fisso a dodici decimali a ogni chiamata.
Contratto di ingresso, campi di risposta ed errori
Invii un corpo JSON con roots obbligatorio, un array non vuoto di al massimo sessantaquattro numeri finiti, e leading opzionale (alias a, leading_coefficient, scale) con predefinito uno. Roots accetta anche alias zeros, root_list e r. Ogni radice può arrivare come numero JSON o come stringa numerica stretta; si accetta una stringa di array codificata in JSON per client che inviano solo campi di testo. I valori assoluti devono restare entro un bilione affinché i prodotti intermedi restino finiti in doppia precisione IEEE sul Worker e nel browser. In successo il corpo ripete roots e leading arrotondati, imposta coefficients all'elenco sviluppato costante per primo, coefficients_high_to_low agli stessi valori invertiti per display potenza alta per prima, degree e root_count a interi, factors_str a un prodotto compatto di fattori lineari con la scala direttiva prefissata quando non è uno, polynomial a una forma sviluppata leggibile con segni sensati e coefficienti unitari omessi, formula a una breve identità, message a un riepilogo di grado in una riga, e steps a righe di sostituzione ordinate per goldens e catture di lezione. La validazione fallita—roots assente, array vuoti, non-array, voci non finite, elenchi più lunghi del massimo pubblicato, valori fuori limiti assoluti, leading zero o coefficienti intermedi non finiti—restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è un $0.002 fisso per richiesta riuscita con unità item.
Aula, automazione e differenza dai cercatori di radici
Le piattaforme di tutoraggio usano questo endpoint affinché gli studenti verifichino sviluppi a mano di (x meno tre)(x più uno) rispetto a un elenco di coefficienti deterministico. Le attività fallite con invalid_input non consumano il saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando si inviano di proposito elenchi vuoti o un coefficiente direttivo zero.
Casi di integrazione
Test unitari di librerie polinomiali
Produca sviluppi noti di ∏(x−ri) più rifiuti di elenco vuoto e leading zero per fixture di kata di codice e integrazione continua.
Domande tecniche
Come costruisco un polinomio da un elenco di radici?
Invii roots come un array non vuoto di numeri finiti e leading opzionale (predefinito 1). L'API sviluppa leading·∏(x−ri) e restituisce coefficienti con costante per primo più una stringa polinomiale leggibile.
Cosa succede se leading è zero o roots è vuoto?
Entrambi sono invalid_input. Un coefficiente direttivo zero collasserebbe il grado; un elenco di radici vuoto è dato di fattori assente, non una modalità solo-costante documentata.
Quanto costa la calcolatrice di polinomio dalle radici?
Lo strumento nel browser è gratis. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido non viene addebitato.